- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
A^v = K^v + 4" (6^v - oX] + ^vagahKa,
О
где K\4 = Q HV nv+QAvM — бесследовая часть тензора конторсии, /Cv = 2QV — след тензора конторсии и Ra = Qri.
Рассмотрим тензор кривизны пространства Ulk. Из определения тензора кривизны (Г.6) и выражения для коэффициентов связности (11.2) получаем
(Г) = ^Vv(O) +A17BviH-AaPnJV+ KalXaKaHv-A0VoAV-
(11.6)
Точка с запятой здесь и в дальнейшем означает инвариантную производную по символам Кристоффеля
Свертывая тензор кривизны (11.6) по индексам а и ц, получим тензор Риччи
tfev(r) =/??v({}) + AV;u—AtVv+AVAV- AwVoA0P,, (11.7)
который, в отличие от случая псевдориманова пространства, несимметричен
Rssv (T)
Тождества Бианки в геометрии Римана — Картана имеют вид
RaVwi.+Ra
+ R0
= 2{Q V^aPP.+ QpV^cVh+ Q^Ra ppv}, (11.8)
Q%v;X + QV;n + Qaxn;v + V2 + Ra^ii +
+Ra^) =2 (QvQ%x+ QvQcV+ QVQV)- (11.9)
Прородя в них суммирование по индексам а и ц, получим следующие свернутые тождества Бианки:
^pv;*-i?p«.;v + i?apvX;a = 2{Qpav^a?pX-RHpQ9Vk+ QpXaRa^fiv), . ,
(11.10)
5* 67 OaVMa = 2(QftQpVX+QvQV+ Qp*„Qv)>. (11.11)
которые в § 12 будут использованы для вывода законов сохранения энергии-импульса и спина.
Рассмотрим теперь особенности параллельного переноса в L*'4. В терминах ковариантного дифференцирования 2-формы кручения Q и кривизны R могут быть выражены так:
Q(t, т') = D1X'-Dt-t-[т, х'], (11.12)
Rix, x')x" = [Dx, Dx>]x"-Dlx^iX*, (11.13)
где т, х', х" — векторные поля на Xі.
В локальной системе координат параллельный перенос в Ui может быть представлен как параллельный перенос в R1= = t (Ui). Пусть X, х' — поля вдоль координатных линий (прямых в Ri), т. е. [т, TyJ=O. Тогда, согласно (11.12), перенос вектора X(А) вдоль поля х' из точки А в точку Е, и перенос т'(A) вдоль т из точки А в точку В (см. рис. 3) приводят к
тому, что концы полученных в результате этих переносов векторов тй и тц не совпадают, как это имело бы место в пространстве без кручения (отмечено пунктиром), и возникает размыкание четырехугольника DEAB, обязанное кручению A = Q (т,т').
Кручение дает вклад и в параллельный перенос по замкнутому контуру. Проиллюстрируем это выводом соотношения (11.13) в индексной форме. Для этого вычислим параллельный перенос т"вдоль поля X, а затем вдоль поля т'. Результат будет следующим: •
DX>DX = (VaV?^v) dx4 тР = d (DtXv) — I lvDxxadx». Если поменять местами Dr и Dx', то получим
DxDx> = (VpVoJv) dT*difi = d (Dx>x4) - r^Dx<x"adx?.
Коммутатор [Dx', Dx] х"^ после изменения порядка суммирования во втором члене будет равен
[Dx,, Dx] = {1Л[«.м + r\la\Tam}x'adx'*dxe +
6S • Здесь
R0Vfa — r°v[a,p] + Г*\[аіГ0».1|!] тензор кривизны пространства U1y и тогда
[Dx', щ Т; = {^vpaT'; + 2Qvrflv>r;;} d%4x\
Наличие кручения приводит к тому, что в геометрии Римана — Картана геодезические кривые (в ТЭК их называют азтопараллелями) не совпадают с наикратчайшими.
Наикратчайшими, или экстремалями, называются кривые, имеющие экстремальную длину относительно метрики псевдо-риманова пространства, т. е. минимизирующие функционал
S = -Jdsy
где dsz = gm,(x)dx^dxv. Такие кривые свпадают с геодезическими псевдориманова пространства Vі и подчиняются уравнению
Cpxcc , га
I P
ds2 1 pv
dx^ dxv Q
ds ds
Это уравнение отличается от уравнения автопараллели, которое при том же выборе аффинного параметра ds имеет вид
d^a ' PVv — — = 0. (11.Г4)
(» } +(«"' + ^ -0, (1Ы5
ds2 ds ds
Подставляя выражение для связности (11.2) в (11.14), получим
гг. 1 і "л Vlj-
ds2 I P-V I
откуда очевидно, что кручение существенным образом влияет на вид автопараллели в Ui, которая отличается от экстремалей и совпадает с ними, только если кручение выражается через псевдослед.
В'общем случае, после исключения из рассмотрения псевдоследа, остается двадцать компонент тензора кручения. ¦ Проинтегрировать систему уравнений (11.15) в общем виде не удается уже в псевдоримановом пространстве, тем более эта задача усложняется для пространств Римана — Картана. Однако уравнения сильно упрощаются, если пространство допускает группу движений, что задает первые интегралы уравнений автопараллелей в пространствах с кручением. Группа движений пространства Ui определяется как группа диффеоморфизмов Xk, сохраняющих метрику и кручение. Поскольку нас интересует прежде ijcero сам факт отличия автопараллелей от экстремалей, мы будем считать, что векторы Киллинга |а (векторы фундаментальных полей, определяемых диффеоморфизмами группы движений (см. Глоссарий. Векторные поля)) псевдориманова пространства будут также векторами Киллинга пространства Римана — Картана. Это означает, что
69- равны нулю производные Ли
Stflw(Jf) = O, (11.16)
SQ^v = O (11.17)
относительно векторов удовлетворяющих соотношениям
^v,a = 0.
Рассмотрим подробнее наиболее простой случай централь-но-симметричного статического пространства Ui. Для него векторами Киллинга являются
g ={1, 0, 0, 0}, I ={0, 0, —cosa;3, CtgAr2Slnx3),
(0) (2)
