- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Расслоения AX и AT(Xi) отличаются от линейных расслоений LX и T(Xi) аффинным типичным слоем VxT, где V обозначает типичный слой расслоения T(X) или L(X). Действие группы Пуанкаре на VX Г имеет вид
P^g = (gl, gr): (i>, l)-+(gLv, gbt + gr)-
Расслоения AT(Xi) и AX ассоциированы с T(Xi) и LX, и структурная аффинная группа GA (4, R) .этих расслоений редуцирована к линейной группе GL(4,R).
Локальная 1-форма связности А группы Пуанкаре на Р-расслоении расщепляется на две компоненты A=Al +At, где Al обозначает лоренцевскую связность, а At = AtvTadx^ представляет собой /?4-значную форму связности, чьи коэффициенты играют роль калибровочных полей подгруппы трансляций. Связность At, поскольку существует глобальное сечение о фак'торрасслоения. rKvjL, можно, в свою очередь, разло-
59 Жить на две составляющие
Ат°*А„+Ъ, (10.4)
где Aa определяется из условия
,(D+ At) от 0, D = d—A,
и имеет вид (А„)а= (Da)a, так что (10.4) переписывается в
форме
Ат=(Оо)а + ваТа. • (10.5)
Легко.убедиться, что именно компонента Aa ответственна за неоднородный закон преобразований связности At относительно локализованных трансляций, тогда как © остается инвариантной относительно этих преобразований и преобразуется по линейному закону относительно калибровочной группы Лоренца. Всегда имеется трансляционная калибровка, в которой неоднородная часть Aa связности группы трансляций At становится равной нулю и At совпадает с ©. Например, можно осуществить сведение Лг->~@ во всех атласах Yff аффинного расслоения, функции перехода которых принадлежат только линейной калибровочной группе и относительно которых а совпадает с нулевой функцией.
Пусть такая трансляционная калибровка выбрана. Тогда возвращаясь к рассмотрению расслоений AT(Xlt) и АХ, мы можем использовать известные теоремы, устанавливающие взаимно однозначное соответствие между общей аффинной связностью А на AX и парами (Al, 0) линейной связности Al на LX и і?4-значной 1-формы © на tl (LX), которая на X представляется тензорным, один раз ковариаптным и один раз конт-равариантным полем 9. Следствие имеет вид
М;J1 S9)- "°-в>
где общая аффинная связность Л и ее форма кривизны F представляются (5x5)-матрицами, действующими на столбцы
rei?4, a D и Rl обозначают ковариантный дифференциал
1,
и форму кривизны линейной связности Al.
В рамках обсуждаемой калибровочной теории группы Пуанкаре Al является лоренцевской связностью, чьи коэффициенты представляют собой лоренцевские калибровочные поля, а
л
компоненты поля в являются однородными составляющими калибровочного поля группы трансляций.
Заметно сходство тензорных рангов калибровочных полей трансляций 0MV и тетрадных функций hД Однако есть и различие, которое состоит в том, что у поля 0 оба индекса, что называется, координатные, а у h один координатный, а другой тетрадный. Опишем это различие строго*
60 Напомним, что тетрадное гравитационное поле h определяется как глобальное сечение ассоциированного с T(Xi) рас-слЬения S на факт.орпространства GL+ (4, R)/L (см. § 4). Однако h, будучи представленным семейством локальных сечений {hi} главного GL(4, R) -расслоения, которые рассматриваются с точностью до действующих на них справа лоренцевских калибровочных преобразований, может быть описано как семейство матричных полей {/V*M}> действующих в типичном слое расслоения T(Xi). Они представляют собой операторы калибровочных преобразований между данным атласом vIr касательного расслоения и атласом Vg, в котором метрическое гравитационное поле g, изоморфное h, выглядит как постоянная метрика Минковского, т. е. ^g. Здесь Ijji^ и if г —¦ морфизмы тривиализации атласов vPs и vIr. Преобразования атласа 1Ir ведут к калибровочным преобразованиям тетрадного поля
h-+gh(hl-+hl.). (10.7)
Тензорное поле 0, отвечающее однородной составляющей связности группы трансляций Т, определяет линейное отображение на себя 0 : Тх->-Тх касательных пространств в каждой точке хеХ4. Относительно атласа касательного расслоения 1F роле 6 тоже представляется семейством матричных функций {0(=г|5/0}, действующих в R4. Но при калибровочном преобразовании 1Ir закон преобразования поля 0
^Arr1 (?-? (10.8)
отличается от закона преобразований (10.7) тетрадного поля Iii ; именно это отличие делает невозможным отождествление этих полей.
В самом деле, предположим, что тетрадное гравитационное поле, которое представляется относительно некоторого атласа V матричными функциями к/(х) совпадает с полем 0„v. Пусть vF — атлас 1Fs. Тогда всегда можно найти карту (Ui, -ф,-), что к/(х), x^Ui, будут матрицами тождественного преобразования Ri. В этом случае трансляционное поле 0i, совпадающее по предположению с h , должно сводится к канонической форме 0 (см.' Глоссарий. Внешние дифференциальные формы) на Xі. Но тогда в силу закона калибровочных преобразований (10.8) такое поле будет совпадать с канонической формой во всех других картах, т. е. на всем многообразии Xі и во всех атласах' xF, чего нельзя сказать об /i'.
Иногда калибровочные преобразования поля 9 сопоставляют с лоренцевскими преобразованиями тетрадных функций h справа. Они интерпретируются как калибровочные преобразования второго рода. В § 5 было показано, что калибровочные преобразования второго рода в теории гравитации не могут существовать, из-за условия инвариантности функционала действия гравитационного йоля (их следует отличать от преобразований атласа Wg). Но если пренебречь этим условием и рассмотреть такие преобразования, они будут тоже иметь разный вид для полей 8 и h. Калибровочные преобразования второго рода, записанные в атласе, должны иметь тот же вид, что и калибровочные преобразования первого рода. Поэтому у поля 0,- при таких преобразованиях будут меняться оба Индекса, тогда как у /г,- только один — тетрадный.
