Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
совпадает с 0(й). Для простоты продемонстрируем совместимость наблюдаемых
с конечным множеством значений. Всякая такая наблюдаемая имеет
представление, аналогичное (0.2)
П
А' (со) = ^ XjEj (со), (0.6)
где Ej(a>) есть индикатор множества Б,={(о : Х(<") =х,}. Множества Bj
образуют разбиение пространства й, a {Ej(iо)} яв-
12
ляются аналогом ортогонального разложения единицы (0.3). Если Хи...,Хт -
произвольный набор таких наблюдаемых, то достаточно взять разбиение {flj}
более мелкое, чем все разбиения, соответствующие наблюдаемым Xt, чтобы
было возможно представить все Х{ как функции наблюдаемой X,
соответствующей такому разбиению {б,}.
Статистическая модель Af-уровневой квантовой системы фактически была
описана в п. 1. Если наблюдаемая X имеет спектральное разложение (0.2),
то наблюдаемая \°Х определяется как
П
/о*= 2/(*,)?,. (0.7)
;=1
Квантовые наблюдаемые Хь . . . , Хт совместимы тогда и только тогда,
когда соответствующие матрицы перестановочны, т. е.
Х<Х;=Х>Хй i, /= 1, . . . , т.
Центр такой модели тривиален: он состоит из матриц, кратных единичной, т.
е. только из постоянных наблюдаемых.
Для совместимых наблюдаемых естественно вводится совместное
распределение вероятностей относительно любого состояния S. Если же Хи ..
., Хт несовместимы, то совместное распределение относительно
произвольного состояния не существует. Это обстоятельство отражает
квантовый принцип дополнительности. Физические измерения над
микрообъектами осуществляются макроскопическими экспериментальными
установками, каждая из которых предполагает сложную и специфичную
организацию пространственно-временной среды. Разные способы такой
организации, отвечающие разным наблюдаемым, могут быть взаимно
исключающими (хотя и относятся к одному и тому же микрообъекту), т. е.
дополнительными. Наличие обширного запаса несовместимых наблюдаемых -
первое из основных отличий квантовой статистики от классической.
Один из наиболее спорных вопросов квантовой теории - проблема скрытых
параметров, т. е. вопрос о принципиальной возможности описания квантовой
статистики в терминах классического вероятностного пространства. Первая
попытка доказательства невозможности введения скрытых параметров была
предпринята Дж. фон Нейманом в [26] и долгое время его аргументы
рассматривались как решающие. В 1966 г. Дж. Белл обратил внимание на их
неполноту и указал на другое фундаментальное свойство
квантовомеханического описания, которое можно обозначить как свойство
целостности1'. Математически оно связано с принципом суперпозиции и с тем
обстоятель-
ч Английский термин - non-separability.
13
ством, что составные квантовые системы описываются с помощью тензорного,
а не декартова произведения, как в классической теории вероятностей.
Свойства дополнительности и целостности лежат в основе негативных
результатов в проблеме скрытых параметров, которые обсуждаются в конце
гл. 1.
0.4. Рандомизация в классической и квантовой статистике. Вернемся к
Колмогоровой модели и рассмотрим случайную величину (0.6). В каждой точке
соб?2 она с вероятностью 1 принимает одно из значений х,. В
математической статистике, в частности в теории статистических решений
полезно рассмотрение "рандомизованных" случайных величин, которые
определяются указанием вероятностей МДсо), (O^AJj (to)^ 1) принятия
значения х3- для любого элементарного события со. Набор функций М =
{Л1((ш)} характеризуется условиями
П
м j (и) > 0; 2жуИ=1; (r)ед, (0.8)
и описывает неточное измерение случайной величины X, т. е. измерение со
случайными ошибками. Распределение вероятностей такого измерения
относительно вероятностной меры Р дается формулой
V-p (*у)= ^ Р(с1щМ,{(&). (0.9)
а
В частности, измерение является точным (безошибочным), если
Mj(a))=Ej(со). Таким образом возникает другая классическая статистическая
модель, которую по имени создателя теории статистических решений можно
назвать моделью Вальда.
Естественно рассмотреть квантовый аналог модели Вальда, в которой
наблюдаемая с конечным множеством значений описывается конечным
разложением единицы, т. е. семейством матриц (операторов) М = {Л13},
удовлетворяющим условиям
П
Mj>0- 2^=1. (0-10)
/=I
Вероятность /-го исхода в состоянии S определяется формулой, аналогичной
(0.9)
p"(*j) = TrSAf;. (0.11)
Эти определения естественно переносятся и на наблюдаемые с произвольным
множеством значений. Так возникает обобщенная
статистическая модель квантовой механики
