Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
3) комплексная оболочка множества наблюдаемых является
некоммутативной (ассоциативной) алгеброй.
В бесконечномерном случае вместо матриц приходится рас-латривать
операторы, действующие в некотором гильбертовом пространстве Ж.
Математически корректное изложение основных понятий квантовой механики в
гильбертовом пространстве было впервые дано Дж. фон Нейманом [26]. Он, в
частности, подчеркнул существенное различие между эрмитовыми
(симметричными) и самосопряженными операторами, которое, ко-
10
нечно, не проводилось в предшествовавших физических работах и указал, что
именно условие самосопряженности обеспечивает в случае dim<9i?=oo аналог
спектрального разложения (0.2). Другой круг вопросов в случае dim^=oo
связан с уточнением понятия следа и соответствующего класса операторов с
конечным следом. Математическая схема, называемая стандартной
формулировкой квантовой механики в гильбертовом пространстве,
рассматривается в гл. 1.
0.2. Общие постулаты статистического описания. Каждая из
математических структур - квантовая логика событий, выпуклое множество
состояний и алгебра квантовых наблюдаемых - может быть охарактеризована
определенной системой аксиом, но возникающие при этом характеризационные
проблемы оказываются совсем не тривиальными и по существу составляют
отдельные направления исследований, обзор которых выходит за рамки
настоящей статьи (см., в частности, Сигал [32], Мак-ки [23], Варадарайан
[160], Людвиг [125], Гаддер [95]). Имея дело с конкретным объектом -
квантовой теорией вероятностей в гильбертовом пространстве, не приходится
прибегать к тем или иным системам аксиом; более того, именно знание
структурных особенностей этого объекта и дает основание для мотивировки
той или иной аксиомы. Одним из полезных уроков аксиоматического подхода
является, однако, указание на плодотворный параллелизм в описании
классических и квантовых систем. Формулируемые ниже положения являются
модификацией первых четырех аксиом Макки, одинаково применимых как к
классическим, так и квантовым системам.
(I) Заданы множество @, элементы которого называются состояниями и
множество 0, элементы которого называются (вещественными) наблюдаемыми.
Для любой пары SG@, X6D задано распределение вероятностей |xsx(dx) на о-
алгебре .$(R) борелевских подмножеств вещественной прямой R, называемое
распределением вероятностей наблюдаемой X в состоянии S.
Состояние S интерпретируется как более или менее детальное описание
приготовления статистического ансамбля независимых индивидуальных
представителей рассматриваемой системы, а наблюдаемая X - как величина,
измеряемая определенным прибором для каждого представителя в данном
ансамбле. Аксиома (1), таким образом, предполагает воспроизводимость
индивидуальных экспериментов и устойчивость частот при их независимых
повторениях. Следующая аксиома выражает возможность смешивания ансамблей.
(II) Для любых Si, S26(c) и любого числа р, 0<р<1, существует See,
такое, что
для всех S называется смесью состояний Sb S2 в пропор-
ции р : (1-р).
11
Следующая аксиома говорит о возможности преобразования информации,
полученной при измерении наблюдаемой. Пусть f борелевская функция из R в
R. Если Хь Х2Ю таковы, что для всех S6@
t4*(?)=^ (/-'(?)); в^(R),
где /-1 (В) = {х : f (х) 65}, то наблюдаемая Х2 функционально подчинена
наблюдаемой В этом случае будем писать
X2=f°Xh
(III) Для любой XjGO и любой борелевской функции f существует Х^О,
такая что X2=f°X\.
Пару непустых множеств (@, О), удовлетворяющих аксиомам (I) - (III),
назовем статистической моделью. Статистическая модель называется
отделимой, если
К X
(IV) Из того, что =(х^! для всех ХбО следует ,S: ,S.:;
из того, что для всех S6(c) следует Х^Хч.
Для отделимой модели операция смешивания в @ и отношение
функциональной подчиненности в О определены однозначно. Тем самым
множество состояний @ наделяется выпуклой структурой, а множество
наблюдаемых D получает частичную упорядоченность.
Наблюдаемые Хх,...,Хт называются совместимыми, если они функционально
подчинены некоторой наблюдаемой X, т. е. X}=fj°Х;
Совместимые наблюдаемые могут быть
измерены в одном эксперименте. Наблюдаемые, совместимые со всеми
наблюдаемыми ХЮ, образуют центр статистической модели. Запас элементов в
центре определяет степень классичности модели.
0.3. Классические и квантовые системы. Пусть (Q, <$(Q)) - измеримое
пространство, $(й)-выпуклое множество всех вероятностных мер на й, а О(й)
совокупность всех вещественных случайных величин с естественным
отношением функциональной подчиненности. Пусть
lipx(B)=P(X-l(B)) : ?G$(R)
--распределение вероятностей Хб0(й) относительно /Зб$(й). Пара (S]3(Q),
O'(Q)) образует отделимую статистическую модель, которую можно назвать
колмогоровской. В этой модели все наблюдаемые совместимы и центр
