Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
проявляется на фоне определенного параллелизма математических структур. В
полной мере этот параллелизм раскрывается в рамках так называемой
некоммутативной теории вероятностей - общей алгебраической схемы,
включающей в себя как квантовый, так и классический (коммутативный)
случаи. Всячески подчеркивая конкретные проявления этого параллелизма,
автор отказался от соблазна изложения с более общих позиций, поскольку
это потребовало бы усложнения математического аппарата, не
сопровождающегося заметным выигрышем в понимании сущности квантовой
вероятности. Вследствие такого подхода, а также ограниченности объема
статьи некоторые красивые результаты некоммутативной теории вероятностей,
носящие более технический характер, не нашли здесь подробного отражения.
Взамен в тексте даются ссылки на другие статьи обзорного характера, где
этим вопро-сам уделено больше внимания.
Большая часть тем, вошедших в этот обзор, обсуждалась на семинаре
"Алгебраические методы в классической и кван-
товой статистике" в Математическом институте им. В. А. Стек-лова АН СССР,
и автор выражает всем его участникам свою искреннюю благодарность.
Введение
0.1. Конечномерные системы. Изложение теории вероятностей принято
начинать с конечной схемы. Следуя этой традиции, рассмотрим конечное
вероятностное пространство Й. Имеют место три тесно связанных между собой
факта, которые по-разному выражают классичность вероятностной схемы:
1) множество событий Лс=0 образует булеву алгебру;
2) множество распределений вероятностей [рь . . . , рЛг] на Q
является симплексом, т. е. выпуклым множеством, в котором каждая точка
однозначно представляется в виде смеси (выпуклой комбинации) крайних
точек;
3) множество случайных величин . . . Дд-] на Q образует
коммутативную алгебру (относительно поточечного умножения) .
Квантовым аналогом этой схемы является модель Лг-уровне-вой системы.
Аналог распределения вероятностей - состояние такой системы описывается
матрицей плотности - эрмитовой Л^ХЛ^-матрицей S, удовлетворяющей условиям
положительной определенности и единичности следа
S>0, TrS = l; (0.1)
аналог случайной величины - наблюдаемая описывается произвольной
эрмитовой yVX^-матрицей X. Пусть
П
А.. У XjEj (0.2)
./--1
- спектральное разложение эрмитовой матрицы X, где х\<х2< . . .-
собственные числа, Еи Е2, . . . - проекторы на соответствующие
собственные подпространства. Набор Е =
- {Ej} образует ортогональное разложение единицы:
П
EjEk = 6jkEj-, '^jEj^l, (0.3)
;=>
где I - единичная матрица. Из свойств (0.1), (0.3) следует, что
соотношение
ц* (Xj) = 7r SEj; у = 1,..., л, (0.4)
задает распределение вероятностей на спектре Sp Х={хь х2,...} наблюдаемой
X; в квантовой механике постулируется, что это есть распределение
вероятностей наблюдаемой X в состоянии S.
9
В частности, среднее значение X в состоянии S есть
ES(X) =Tr SX. (0.5)
Если в этой модели ограничиться рассмотрением только диагональных
матриц
. 0' . 0'
¦Л =
0 pn 0 Яд,
то мы возвращаемся к классической схеме с N элементарными событиями, где,
в частности, (0.5) сводится к ES(X) =
N
-HpjXj. То же самое мы получили бы, рассматривая только /=1
одновременно диагонализуемые, т. е. коммутирующие (перестановочные между
собой) матрицы. Поскольку имеются наблюдаемые, описываемые
некоммутирующими матрицами, модель Л^-уровневой системы не сводится к
классической схеме.
Роль индикаторов событий в квантовом случае играют наблюдаемые,
принимающие значения 0 или 1, т. е. эрмитовы идемпотентные матрицы: Е2=Е.
Вводя унитарное координатное пространство <9^=ClV, в котором действуют
jVXA^MaTPHu,bIi такую матрицу Е можно рассматривать как ортогональный
проектор на подпространство & в Ж. Таким образом, квантовые события можно
отождествить с подпространствами унитарного пространства Ж. Множество
квантовых событий, называемое квантовой логикой, частично упорядочено (по
включению) и наделено операциями S\\JS2 (линейная оболочка подпространств
<SS'z), &\/\($г (пересечение подпространств &и <?t), S' (ортогональное
дополнение) с известными свойствами. Неклассичность модели А^-уровневой
системы можно выразить тремя различными утверждениями:
1) квантовая логика событий не является булевой алгеброй, поскольку
в ней не выполнено тождество дистрибутивности
8\t\ (&2V#s) = (S'lAS's) V (S'lAS's) •
Вследствие этого, нет "элементарных событий", на которые однозначно
распадалось бы любое квантовое событие;
2) выпуклое множество состояний не является симплексом, т. е.
представление матрицы плотности в виде смеси крайних точек неоднозначно;
