Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
означает, в частности, согласованность понятия динамической полугруппы с
основным динамическим принципом квантовой механики, выраженным
соотношением (0.16).
В теории вероятностей подобное расширение марковской полугруппы до
группы временных сдвигов в пространстве траекторий, соответствующих
марковскому случайному процессу, осуществляется известной конструкцией
Колмогорова-Даниэля. Понятие квантового случайного процесса, играющее
важную роль в проблеме расширения динамической полугруппы, было-
18
сформулировано Л. Аккарди, А. Фриджерио и Дж. Льюисом (1980). Роль
марковского свойства особенно подчеркивалась Л. Аккарди. В 80-е годы
теория квантовых случайных процессов превратилась в обширное
самостоятельное поле исследований (см., в частности, сборники [141]-
[145]).
Аналитический аппарат квантового стохастического исчисления,
позволяющий, в частности, строить нетривиальные классы квантовых
случайных процессов и конкретные расширения динамических полугрупп, был
предложен Р. Л. Хадсоном и К. Р. Партасарати (1982). Квантовое
стохастическое исчисление возникает на пересечении двух концепций-
временной фильтрации в смысле теории случайных процессов и вторичного
квантования в пространстве Фока. В конце 60-х годов Р. Стритер и X. Араки
указали на структуру непрерывного тензорного произведения, которая лежит
в основе связи между безграничной делимостью, процессами с независимыми
приращениями и пространством Фока. Благодаря этому, пространство Фока
оказывается носителем процессов "квантового шума", которые дают
универсальную модель окружения открытой квантовой системы. Квантовое
стохастическое исчисление представляет интерес и с точки зрения
классической теории случайных процессов. Оно перебрасывает мост между
исчислением Ито и вторичным квантованием, открывает неожиданные связи
между непрерывными и скачкообразными процессами, позволяет по-новому
взглянуть на понятие стохастического интеграла. Наконец, на этой основе
развиваются потенциально важные приложения, относящиеся к теории
управления и фильтрации для квантовых случайных процессов (см. гл. 5).
Глава 1
СТАНДАРТНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Основные понятия
1.1. Операторы в гильбертовом пространстве. Изложению теории
операторов в гильбертовом пространстве, в значительной мере
стимулированной проблемами квантовой механики, посвящено много прекрасных
книг (см., в частности, [2], [30]). Ниже мы лишь напоминаем некоторые
факты и фиксируем обозначения.
Далее Ж обозначает сепарабельное комплексное гильбертово пространство.
Для скалярного произведения в 2(6 используется дираковское обозначение
<<р|г|}>, причем считается, что форма <<р|г|э> линейна по ч|э и
антилинейна по ф. Символ |г|)><ф|
2*
19
обозначает оператор, действующий на вектор у^Ж по формуле
1^><ф|Х=^<ф|5С>-В частности, если <^|ty} = 1, то
(ф><ф| есть проектор на вектор ^Ж. Линейная оболочка множества операторов
вида |г|з)<ф| совпадает с множеством операторов конечного ранга в Ж.
Если X - ограниченный оператор в Ш, то X* обозначает сопряженный
оператор, определяемый соотношением
<ф|Х*г!з> = <Хф|г1з>; ф,
Множество (r)(Ж) всех ограниченных операторов в Ж является банаховой
алгеброй с инволюцией*. Оператор Х(<?(Ж) эрмитов, если Х=Х*. Унитарным
оператором называется оператор U, такой что U*U=UU* = I, где I -
единичный оператор. Проектором называется эрмитов оператор Е, такой что
Е2=Е. Эрмитов оператор X положителен (Х^О), если <iJ}|X^>^0 для всех
трбЖ. Для положительного оператора однозначно определен положительный
квадратный корень.
Для всякого ограниченного положительного оператора Т однозначно
определен след
оо
Tr7' = 2<ei|7'e, )< + ",, (1.1)
где {е4} произвольный ортонормированный базис. Оператор Т называется
ядерным (оператором со следом), если он является линейной комбинацией
положительных операторов с конечным следом. Для такого оператора след
определяется однозначно, как сумма абсолютно сходящегося ряда вида (1.1).
Множество ядерных операторов ?(Ж) является банаховым пространством
относительно нормы ||7'[|i = Try7'*7', причем множество операторов
конечного ранга плотно в ?(Ж).
Множество Х(Ж) образует двусторонний идеал в алгебре %(Ж).
Сопряженное к банахову пространству %{Ж) изоморфно Ъ(Ж), причем
двойственность определяется билинейной формой
<7\ Х)=ТгГХ; Те%(Ж), Х&(Ж). (1.2)
Нижний индекс h в обозначении множества операторов означает, что
рассматривается соответствующее подмножество эрмитовых операторов,
например, $Вг,(Ж) есть вещественное банахово пространство ограниченных
эрмитовых операторов в Ж. Отметим, что 1ъ{Ж)*=Ък(Ж), причем
двойственность по-прежнему задается формой (1.2).
Кроме сходимости по операторной норме в SB (Ж), часто используются
