Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
- Вигнера 27
- Глисона 21
- М. Г. Крейна 53
- М. А. Наймарка 44
- Стайнспринга 70
- Стоуна 28
- Стоуна-фон Неймана 30
- Шенберга 76
Условно положительно определенная функция 99 Условное ожидание 34, 73
Фока пространство 103 Хаотическая представимость 116 Характеристическая
функция
- инструмента 97
- состояния 32
Хронологически упорядоченная экспонента 111 Целостность квантовая 39
Центр (статистической модели) 12 Центральная предельная теорема квантовая
35 Числа частиц оператор 104 Шрёдингера картина 28 Шрёдингера уравнение
28 Экспоненциальный вектор 105 Энтропия относительная 72 Эргодическая
теорема квантовая 80
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретико-множественная концепция, положенная А. Н. Колмогоровым в
основу теории вероятностей, оказалась необычайно плодотворной и
продолжает успешно разрабатываться. В то же время эволюция естествознания
с необходимостью приводит к рассмотрению альтернативных вероятностных
систем, в которых теоретико-множественная математика играет
вспомогательную роль, и на первый план выходят связи с функциональным
анализом и современной математической физикой.
Развитие физики - от механики через статистическую механику к
квантовой теории - сопровождалось возрастанием роли вероятностных
представлений. Наблюдаемое поведение физических объектов атомного и
субатомного уровней имеет выраженный статистический характер.
Соответственно, предсказания теории, описывающей поведение микрообъектов,
являются по своему существу вероятностными и выражаются в терминах
средних значений, корреляций, вероятностей переходов и т. п.
Принципиально важным, однако, является следующее обстоятельство: хотя
результат каждого отдельно взятого эксперимента можно рассматривать как
обычную случайную величину, оказывается невозможным дать описание
совокупности результатов всевозможных экспериментов над данным
микрообъектом, характеризующей его состояние, в терминах классического
"пространства элементарных событий". Другими словами, состояние не может
быть задано, как в классической статистической механике, распределением
вероятностей P(dсо) на некотором фазовом пространстве Q, отражающим
неточность или неполноту задания "истинного" состояния co6Q. Квантовая
статистич-ность имеет первичный характер и неустранима за счет повышения
точности и детальности измерений.
Одна из главных особенностей квантовой физики, препятствующих
"классическому", т. е. теоретико-множественному описанию, состоит в
наличии взаимно дополнительных величин, которые не могут одновременно
иметь каких-либо определенных значений. При последовательном измерении
таких величин результат оказывается зависящим от порядка измерений. С
этим связано то обстоятельство, что в основе математического аппарата
квантовой физики лежит некоммутативная алгебра матриц или операторов.
Перефразируя известное определение теории вероятностей п, можно сказать,
что квантовая теория вероятностей - это теория операторов в гильбертовом
пространстве, "одушевленная" статистической интерпретацией квантовой
механики.
Начало исследованию вероятностной структуры квантовой теории было
положено в известной монографии Дж. фон Ней-
*> "Probability theory is a measure theory - with a soul" (M. Kac).
7
мана "Математические основы квантовой механики" (1932). В этой книге,
послужившей истоком многих идей функционального анализа, было дано
обоснование формализма, развитого в предшествовавших физических работах,
особенно в дираков-ских "Принципах квантовой механики". Кроме того, в ней
был поднят ряд фундаментальных вопросов вероятностной структуры квантовой
теории, которые в то время не могли найти удовлетворительного решения. В
60-70-е годы эта проблематика вызывает новый интерес, который стимулирует
создание, уже на базе достижений современного функционального анализа,
вероятностной теории, являющейся логическим развитием статистической
интерпретации квантовой механики и свободной от ряда трудностей и
противоречий первоначального подхода. Обзор основных принципов и
результатов этой теории и является предметом настоящей статьи.
Квантовая вероятность связана со многими разделами математики и
физики, и излагать ее можно с разных позиций. Автор придерживается той
точки зрения, что наибольший интерес в квантовой вероятности представляют
те факты, которые принципиально отличают ее от обычной (и зачастую
противоречат классической вероятностной интуиции). По этой причине
квантовая вероятность рассматривается здесь в тесной связи со статистикой
измерений, в которой эти отличия находят наиболее яркое проявление и
имеют определенное физическое содержание. Основное внимание уделено не
формальным поискам некоммутативных аналогов различных результатов теории
вероятностей, а раскрытию вероятностной структуры квантовой теории и
показу того, как это помогает в решении конкретных проблем (подробнее см.
введение).
С другой стороны, контраст между классической и квантовой вероятностью
