Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
более слабые понятия сходимости. Последовательность {Хп} сходится к X
сильно, если lim ||XniJ)-Хг|з|| = 0 для
П-*<х>
всех \р?Ж, слабо, если Нт<ф|Хпг|)> = <ф|Х1|)> для всех ф, трбЖ,
П-*- оо
и w* - слабо (ультраслабо), если lim Тг ГХ"=Тг ТХ для всех
20
Т?%(Ж). Если {X"} ограниченная по норме последовательность операторов,
такая что Х"^Х"+1, то Хп сходится сильно, слабо и w*-слабо к
ограниченному оператору X (обозначается
1.2. Оператор плотности. Так называется всякий положительный
оператор 5 с единичным следом:
S>0; Тг 5 = 1.
Множество операторов плотности <5(Ж) является выпуклым подмножеством
вещественного линейного пространства ХК(Ж)\ более, того, оно является
основанием конуса положительных элементов, порождающего ХЛ(Ж). Точка S
выпуклого множества (c) называется крайней, если из того, что S=pSi-j-(l-
p)S2, где Si, S26@, 0</7<1, следует Si = S2 = S. Крайними точками
множества <5 (Ж) являются одномерные проекторы
5*= |i|j><i|j[, (1.3)
где тр?Ж, <iJj|i|j>=1. Всякий оператор плотности представим в виде
счетной выпуклой комбинации
со
S = 2 РАУ] > < ¦'Ы*
ОО
где ifij) = 1, Pj^O, 2 р}= 1. Одно из таких представлений
дается спектральным разложением оператора S, когда т|^ являются его
собственными векторами, a pj соответствующими собственными числами.
Рассмотрим множество (c)(Ж) проекторов в Ж, изоморфное квантовой логике
событий (замкнутых линейных подпространств Ж). Вероятностной мерой на
&(Ж) называется вещественная функция ц со свойствами: 1) 0^ц,(?)^1,
Ев(§,(Ж) \ 2) если {?Дс(r)(<Э{?), причем Е^ЕН = 0 при и Е^ = 1, то
Е|л(?;) =1.
i
Отвечая на вопрос Макки, Глисон (1957) доказал следующую теорему.
Теорема. Пусть йтЖ^З. Тогда всякая вероятностная мера на %{Ж) имеет
вид
n(?)=TrS?, (1.4)
где S - однозначно определяемый оператор плотности.
Случай dim Ж=2 является особым - для него легко указать меры, не
представимые в виде (1.4), однако они не используются в квантовой теории.
Доказательство теоремы Глисона совершенно нетривиально и породило целое
направление в некоммутативной теории меры, посвященное всевозможным
обобщениям и упрощениям этой теоремы (см. обзор Кручиньского в [141]).
21
По поводу некоммутативной теории меры и интегрирования см. обзоры LLI. А.
Аюпова и А. Н. Шерстнева и другие статьи в сборниках [18], [34].
1.3. Спектральная мера. Пусть Z8 множество с о-алгеброй измеримых
подмножеств 38(8)5). Ортогональным разложением единицы в Ж называется
проекторно-значная мера на 38(85), т. е. функция множеств Е \ $ (95)^>-
<§,(Ж), удовлетворяющая условиям:
1) если Ви Вф$(Ж) и В{[]В2=0, то ?(51)?(В2)=0;
2) если {В}) - конечное или счетное разбиение $& на попар-но-
непересекающиеся измеримые подмножества, то
JE(B}) = I,
где ряд сходится сильно.
Пусть X - оператор с плотной областью определения ?D(X)czS5.
Обозначим 2D(X*) множество векторов <р таких, что существует %&Ж, для
которого
<ф|Лл|5> = <х|г|з>; №&(Х).
Определим оператор X* с областью определения ?>(Х*), полагая Х*ц>=%.
Оператор X называется эрмитовым (симметрическим), если и
самосопряженным, если Х=Х*.
Спектральная теорема (фон Нейман, Стоун, Рисе, 1929-1932)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между ортогональными
разложениями единицы Е на ст-алгебре ^(R) борелевских подмножеств
вещественной прямой R и самосопряженными операторами в Ж по формуле
оо
Х= ^ xE(dx), (1.5)
•-oo
где интеграл понимается в подходящем смысле (см. [30]). Разложение
единицы Е называется спектральной мерой оператора X. Для любой
борелевской функции f определен самосопряженный оператор
оо
/°Я'= ^ xE(dx),
- со
спектральная мера F которого связана со спектральной мерой оператора X
соотношением
F(B)=E(f~l(B)), B6S9(R).
Совокупность всех самосопряженных операторов в Ж обозначим О (Ж).
1.4. Статистический постулат. С каждой квантовомеханической
системой связывается сепарабельное комплексное гильбертово пространство
Ж. Состояния системы описываются операторами плотности в Ж. Вещественной
наблюдаемой называется лю-
бой самосопряженный оператор в Ж. Распределение вероятностей наблюдаемой
X в состоянии S задается соотношением
nf(fl)=TrS?(fl), fle#(R), (1.6)
где Е - спектральная мера X. Определенную таким образом отделимую
статистическую модель (<5(Ж), О(Ж)) будем называть стандартной
статистической моделью квантовой механики.
