Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
![](/pic/spacer.gif)
![](/pic/spacer.gif)
(см. § 2.1).
Общие разложения единицы в квантовой теории появляются на рубеже 70-х
годов. К этому независимо приводят исследова-
14
ния по квантовой аксиоматике (Г. Людвиг), по проблеме воспроизводимости,
связанной с повторными измерениями (Э. Б. Дэвис и Дж. Льюис); по
квантовой теории статистических решений (А. С. Холево) и другие работы.
Обобщенная статистическая модель квантовой механики является логическим
следствием ее вероятностной структуры и дает основу для рассмотрения ряда
вопросов, не находящих удовлетворительного решения в рамках стандартной
формулировки.
0.5. Выпуклая геометрия разложений единицы и фундаментальные пределы
точности. Хотя описанное выше расширение понятия наблюдаемой формально
аналогично введению рандо-ушзованных величин в классической статистике,
неортогональные разложения единицы имеют в квантовой теории принципиально
более важное значение, нежели просто средство описания неточных
измерений. Дело в том, что и с математической, и с физической точек
зрения наибольший интерес представляют крайние точки выпуклого множества
разложений единицы (0.10), описывающие статистику предельно точных и
максимально информативных измерений. В классическом случае крайние точки
множества (0.8) совпадают с нерандомизован-ными процедурами {?^(ш)},
соответствующими обычным случайным величинам. Однако в квантовом случае
крайние точки множества (0.10) при п>2 уже не исчерпываются
ортогональными разложениями единицы. Следовательно, для описания
предельно точных квантовых измерений требуются, в общем случае,
неортогональные разложения единицы.
С другой стороны, как показал М. А. Наймарк (1940), произвольное
разложение единицы расширяется до ортогонального в некотором объемлющем
гильбертовом пространстве. Это позволяет истолковать неортогональное
разложение единицы как обычную наблюдаемую в расширении исходной
квантовой системы, содержащем независимую дополнительную систему. Таким
образом, измерение над расширением может быть более точным и
информативным, чем любое прямое квантовое измерение. Этот парадоксальный
с точки зрения классической статистики факт связан с затронутым в п. 3
квантовым свойством целостности.
В 1940-50 годы в работах Д. Габора и Л. Бриллюэна было высказано
предположение, что квантово-механическая природа канала связи должна
налагать фундаментальные ограничения на скорость передачи и точность
воспроизведения информации. Этот вопрос приобрел актуальность в 60-е годы
с появлением квантовых каналов связи - систем передачи информации,
основанных на свойствах когерентного лазерного излучения. В 70-е годы
была создана последовательная квантовая теория статистических решений,
которая дает принципиальную основу для рассмотрения вопросов предельной
точности и информативности измерений (см. К. Хелстром [37], А. С Холево
[43]).
15
В этой теории решающие процедуры - измерения описываются разложениями
единицы в гильбертовом пространстве системы и решаются задачи об
отыскании экстремума некоторого функционала (меры точности, шенноновской
информации) в классе квантовых решающих процедур, обычно подчиненных
дополнительным ограничениям (несмещенности, ковариантности и т. п.) (см.
гл. 2).
0.6. Проблема соответствия. Одна из трудностей в стандартной
формулировке квантовой механики состоит в невозможности сопоставления
некоторым величинам, таким как время, угол, фаза и т. п. самосопряженного
оператора в гильбертовом пространстве системы. Причина кроется в теореме
единственности Стоуна-фон Неймана, которая налагает жесткие ограничения
на спектры канонически сопряженных наблюдаемых.
К этому же кругу вопросов можно отнести и трудности с локализуемостью
(т. е. введением ковариантных наблюдаемых положения) для релятивистских
квантовых частиц с нулевой массой. Рассмотрение в качестве наблюдаемых
неортогональных разложений единицы, подчиненных условиям ковариантности,
аналогичных коммутационным соотношениям Вейля в теореме Стоуна-фон
Неймана, позволяет в значительной степени избежать этих трудностей (см.
гл. 2). В спектральной теории неортогональные разложения единицы
возникают как обобщенные спектральные меры несамосопряженных операторов.
В соответствии с этим, например, оператор, отвечающий наблюдаемой
времени, оказывается максимальным эрмитовым (но не самосопряженным).
Можно сказать, что обобщенная статистическая модель квантовой механики на
новом математическом уровне оправдывает "наивное" представление о
вещественной наблюдаемой, как об эрмитовом, но не обязательно
самосопряженным, операторе.
0.7. Повторные и непрерывные измерения. В колмогоровской модели
преобразования состояний системы могут быть описаны с помощью условных
вероятностей. Пусть в результате измерения случайной величины (0.6)
получено значение х}. При этом классическое состояние, т. е.
вероятностная мера P(d(a) на Й преобразуется по формуле
J P{da)Ej{m)
![](/pic/spacer.gif)
![](/pic/spacer.gif)
![](./design/pic/spacer.gif)
![](/pic/wildcat.gif)