Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Из (1.5), (1.6) вытекает, что среднее значение наблюдаемой X в
состоянии S,
оо
Е5(АГ)= ^ x^(dx),
-оо
равно
Es(X)=TrSJ (1.7)
(по крайней мере, для ограниченных наблюдаемых).
Крайние точки множества описываемые операторами
плотности (1.3), называются чистыми состояниями, а вектор я|з называется
вектором состояния. Среднее значение наблюдаемой X в таком состоянии
равно
Е<?,р {Х)= < ф | Xty ) .
Допуская вольность речи, ограниченной наблюдаемой иногда называют
произвольный Х68(Ж). Соотношение (1.7) определяет линейный положительный
нормированный (ES(I) = 1) функционал на алгебре $3(Ж), т. е. состояние в
смысле теории алгебр (предыдущие рассуждения поясняют происхождение этого
математического термина). Состояние на (r)(Ж), определяемое оператором
плотности по формуле (1.7), является нормальным в том смысле, что если
X"fX, то Es(Jn)-^-Es(A').
Алгеброй фон Неймана называется всякая алгебра ограниченных
операторов в Ж, содержащая единичный оператор, замкнутая относительно
инволюции и предельного перехода в сильной (слабой) операторной
топологии. С любой алгеброй фон Неймана 93, как и с Ъ(Ж), ассоциируется
статистическая модель, в которой состояниями являются нормальные
состояния на 93, а наблюдаемыми - самосопряженные операторы,
присоединенные к S3. Такие модели занимают промежуточное положение между
квантовой и классическими (соответствующими коммутативным алгебрам 93), и
играют важную роль в теории квантовых систем с бесконечно большим числом
степеней свободы- полей и сред (см. [7], [9], [51]).
1.5. Совместимые наблюдаемые. Коммутатором ограниченных операторов
X, Y называется оператор
[X, Y]=XY-YX.
Операторы X, У68(Ж)-перестановочны (коммутируют), если [X, У]=0.
Самосопряженные операторы X, Y называются пере-
23
становочными, если перестановочны их спектральные меры. Следующие
утверждения эквивалентны:
1) Наблюдаемые Х\,...,Хп совместимы, т. е. существует
наблюдаемая X и борелевские функции fu . . . , fn такие, что-X,=f}'X;
п.
2) Операторы Хи . . . , Хп перестановочны.
Если Е 1,... ,Е п - спектральные меры совместимых наблюдаемых Х\,. .
. , Хп, то соотношение
?(Я,Х...ХЯ") B?9t (R),
однозначно определяет ортогональное разложение единицы Е на R"),
называемое совместной спектральной мерой операторов Х\,...,Хп. Для любого
оператора плотности S определено совместное распределение вероятностей
наблюдаемых Х\,. . . , Хп
^''¦¦•'М?) = Тг SE(B), ве@(Rn).
Для любой борелевской функции f(xи ¦ ¦ ¦ , хп) определена наблюдаемая
со оо
/ (А*!, ..лп)= ^ ... ^ f(xu .xn)E(dxl ... dxn),
-оо - ОС
причем
со оо
Es(/(a,, .... A'"))= jj ^ f(xu хп)Х
-со -со
Хц?"¦¦ 'xn(dx: ... dxn).
Существование несовместимых наблюдаемых отражает квантовый принцип
дополнительности. Количественное выражение этого принципа дает
соотношение неопределенностей. Для наблюдаемых X, Y, имеющих конечный
второй момент относительно состояния 5, корректно определяются билинейные
формы
<Х, y>s = ReTr YSX, [X, y]s=2ImTr YSX
(см. [43, гл. II]). Пусть X = [Хь . . . , Х"]-набор произвольных
наблюдаемых с конечным вторым моментом. Введем вещественные матрицы
Ds (X) = [<Xi-l • Es (Х<), Xj-I • Es (X,) >s]i)3=b Cs(X)=[[Xlf
¦ ¦ • . "-
Из положительной определенности полуторалинейных форм X, F-VTr Y*SX,
Тт XSY* вытекает неравенство,)
D5(X)> ±±Cs(X), (1.8>
1} Впервые такое неравенство было указано Робертсоном (1934);
впоследствии оно неоднократно переоткрывалось (см. [17]).
24
где левая и правая части рассматриваются как комплексные эрмитовы
матрицы. Для двух наблюдаемых X=XU Y=Х2 неравенство (1.8) равносильно
соотношению неопределенностей Шрёдингера-Робертсона
Ds (X)- D5 (Y) ;> ( X- I-ES(A), Y - Ь Е$ (К) ) 2 -f-
+|(A', n! (,'9)
где
Ds (A) = jj (x - Es (X))2 ^ (dx)
- дисперсия наблюдаемой X в состоянии S. Если X, Y - совместимые
наблюдаемые, то величина
< X- 1 • Es(.Л*), Y-l.Es(Y))s =
оо оо
= ^ ^ {х - Es(A'))(y - ES(K))ns'K (dxdy)
- оо -оо
представляет собой ковариацию X, Y в состоянии S; при этом [X, y]s=0 и
(1.9) превращается в неравенство Коши-Шварца для ковариации случайных
величин.
Детальный обзор многообразных вариантов и обобщений соотношения
неопределенностей см. в [17].
Заметим, что если X, Y - произвольные (ограниченные) операторы, то
<Х y>s=TrSJ°y, (1.10)
