Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
сингулярного гамильтониана (2.6). При этом над квантовым шумом, который
играет роль пробной системы, производится непрерывное неразрушающее
измерение семейства совместимых наблюдаемых Q(s); O^s^L
Пример 2. И.-процесс с генератором
&{2\K)[X] = i[H, X] + (L*XLea-L*L°X), (2.18)
где И, /.(<25(3(r)), является естественным обобщением считающего процесса
из п. 4.2.5. Для этого процесса расширение имеет вид
Л^ЧЯ)=#0[^О*(1(r)Р$Ш))И<)]; EGSBo.t, (2.19)
где Р{02((Е)', EG&o.t, спектральная мера семейства совместимых
наблюдаемых A(s); 0<s<^, в T(/.2(R+)). Соответствующее
представление в пространстве состояний
Ш) = TrrWR+))l/ (*)(S(r)| ч"о > ( 4>o I) ^ (0* (I(r)Р$Ш)) (2,20) имеет
интерпретацию, аналогичную соотношению (2.17).
120
Несколько слов о методе доказательства соотношений
(2.16), (2.19). Обозначим
= <Г0[I/(О* (I(y{-):y(t) - y(0)6/?))^(0].
где 5e^(R), и введем характеристические функции
Ф{Л(Я,) = Je'4/r^(flfje).
R
Тогда
Ф/Л (*)[*] = (0* (A'(r)ei?-y( л<0) V (*)], (2.21)
где K(1)(^) = Q (^) и Г(2>(^) = Л(0- Используя Квантовую формулу Ито,
можно доказать, что функции (2.21) удовлетворяют уравнениям
d&tn(b) = 2'U)(k)-0}n(k)e/t,
т. е.
ф<л(А) = ехр t2'U)(k).
Отсюда вытекает, что {Л5/;)} есть сверточная полугруппа, отвечающая и.-
процессу В силу взаимной однозначности
соответствия между и.-процессами и сверточными полугруппами (п. 4.2.5)
отсюда следуют соотношений (2.16), (2.19).
2.4. Стохастические представления процессов непрерывного измерения.
Используя прием, который позволил получить в п. 2.2 стохастические
представления квантовой динамической полугруппы, найдем соответствующие
стохастические представ^ ления для процессов непрерывного измерения
[105]. Из этих представлений вытекает явное описание распределений
вероятностей в пространстве траекторий - исходов непрерывного измерения и
апостериорных состояний наблюдаемой квантовой системы.
Рассмотрим сначала и.-процесс с генератором (2.15). Как отмечалось в
п. 4.2.5, он сосредоточен на непрерывных траекториях. Пусть |i(i) ¦-мера
Винера в пространстве непрерывных функций отвечающая стандартному
винеровскому процессу Wt.
Предложение 1. И.-процесс [Ж^ь] абсолютно непрерывен по мере в том
смысле, что
.*$(?)[S]= 51/|о(Г)51/^(Г)*^(1)(Г); 1Ж (2.22)
Е
где {К(/)(№'")}1-семейство ограниченных операторов в 50, удовлетворяющее
стохастическому дифференциальному уравнению (2.7) относительно меры ц(1).
121
Доказательство основано на применении преобразования дуальности к
представлению (2.17). При этом, как в п. 2.2, появляются операторы а
спектральная мера Pj'j семейства Q (s)\ 0 диагонализуется, так
что проектор
Ро)} (Е) переходит в индикатор множества
Соотношение (2.17) дает конкретное представление вполне
положительного инструмента Ж о,) в виде (4.1.12). Отсюда получается
распределение вероятностей в пространстве наблюдаемых траекторий
^ (Е)= J Tr SV\" (W) dp{l)(W); ?б^о,< П".
Е
Оно абсолютно непрерывно по мере Винера |д,(1), причем плотность дается
формулой
р? > (ВТ) = Тг * (Я?) V\l) (W)*, (2.23)
и почти наверное положительна. Апостериорное состояние, отвечающее
наблюдаемой траектории есть
5/°> (W) = р\1> (Г)-'И/ > (W) SH/> (W)*. (2.24)
Отметим, что если начальное состояние чистое, 5=|г|з) (^|, то
апостериорные состояния являются чистыми 5/1)(U^) = = 1^(^)> <^W)|. где
^\l) = (W)^l\\V{tl)(W)^\\.
Перейдем к случаю считающего процесса с генератором
(2.18). Пусть ц(2) - мера в пространстве ЯЬ, отвечающая пуас-соновскому
процессу единичной интенсивности.
Предложение 2. И.-процесс [Ж(а\>} абсолютно непрерывен по мере ^(2),
а именно
jr^)(?)[S] = ^(/2)(iV)SH/)(^)*rf!,(2)(^); ?"е"о.<ПФ. (2.25)
Е
где 2\^V)} - семейство ограниченных операторов в Эв, удов-
летворяющее стохастическому дифференциальному уравнению
(2.9) относительно меры ц(2).
Доказательство соотношения (2.25) требует некоторого преобразования
представления (2.20). Рассмотрим унитарные операторы Вейля К.(/)
=exp[z.<4+(/)-zA[t)], где zGС. При имеет место соотношение
K,(0*A(s)K,(/)=A(s)+2^(s)+2A+(s) + |z|2s^n(s), которое проверяется с
использованием уравнения (1.27) и квантовой формулы Ито. Положим 2=1,
тогда П (s) является пуас-соновским процессом единичной интенсивности в
пространстве
122
Фока. Обозначая U, = Vi(t)*V(t), перепишем (2.20) в виде
Л(о2,Не) = Ттг(L'{*+))Ut(S(r)\q0) <%\)0;(1(r)P?J(E)), (2.26)
где Po'i - спектральная мера семейства совместимых наблюдаемых П (s);
0<s<*. Из квантовой формулы Иго вытекает
уравнение для Ut:
