Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Холево указал стохастическое дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяет произвольный классический мультипликативный процесс с
независимыми стационарными приращениями в группе Ли (мультипликативный
аналог разложения Ито) [104].
Наглядное представление решений уравнения (1.18) дают хронологически
упорядоченные экспоненты, родственные мультипликативному стохастическому
интегралу в классической теории случайных процессов (по поводу последнего
см. Эмери [82]). Пусть (Ма(^)} - четверка простых согласованных процессов
на [0, Т] со значениями в &(Ж). Положим
Vj= exp [М 0 (fy_j) (A (tj) - A (fM)) +
+ М, (t}_x) (A (tj) - А (tj_,)) + М2 (tj_х) (А+ (tj) - А+ (*м)) +
+ ЛГч (tj_i) i)]
и обозначим
т
exp ^ (М0<^Л + Ж1^Л + /Й2йМ++ Msdt) = о
= VN>...-Vi. (1.21)
Оператор (1.21) определен на Ж(r)Те. В работе А. С. Холево (см. [145])
доказано, что если {Ма} - сильно допустимая четверка согласованных
процессов со значениями в Ъ(0б) и {Мада} - последовательность четверок
простых процессов, аппроксимирующая {Ма} в смысле (1.13), то существует
сильный предел на Ж(r)Те выражений вида (1.21), который называется
хронологически упорядоченной экспонентой. При этом семейство
хронологически упорядоченных экспонент т
И(9 = ехр W^A^M2dA*+ Mzdt), *eR+, (1.22)
ill
является сильно непрерывным на Ж<8)Ге, согласованным процессом, который
удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (1.18), где
{La} и {Afa} связаны соотношениями
L0 = a(M0), Li = M{b(M0), L2 - b(MQ)M2,
L3 = M3+MlC(M0) M2.
Здесь a, b, с - целые функции
a(z) = ez- 1, b (z) = -¦ c(z) = eZ~z\~z, z=^0. (1.23)
Используя изоморфизм (1.17), эти соотношения можно объединить в одно
матричное равенство
L=eM-I.
Если коэффициенты Ма(/) коммутируют между собой при всевозможных
значениях временных аргументов, то хронологически упорядоченная
экспонента превращается в обычную t
I/ (t) = exp J (M0dA + MxdA + M2dA++M3dt),
u
и дает, таким образом, явное решение уравнения (1.18). Пример. Решение
уравнения
dJz = zJzd Л; /,(0)=1, (1.24)
при гФ - 1 записывается в виде
/,(*)=(*+*ек+.
Если Z--1, то решение уравнения (1.24) имеет вид
J-1 (t) = 6о,Л(0>
где bij - символ Кронекера. Поскольку обращается в
нуль, оно не может быть записано в виде экспоненты. Хронологически
упорядоченные экспоненты
t
V{i) = expjj (LdA+-L*dA-iHdt) (1.25)
о
рассматривались фон Вандельфельсом, а также Хадсоном и Партасарати в
[141], [20]. Эти экспоненты являются унитарными операторами,
удовлетворяющими уравнению
dV = [LdA+-L*dA - (iHL* L^dt]V\ K(0) = I. (j.26)
Пример. Пусть &\тЖ= \ и /6?2(R+). Экспонента t
V fit) = exp J (/ (s) dA+ (s) -71s) dA (5))
0
112
является унитарным решением уравнения
dVf (/) = [/ (t) dA+ (/) - / (0 dA(t)-±-\f (t)\idt\ V} (t) (1.27)
в r(Z2(R+)). Из этого уравнения и квантовой формулы Ито
Xg(s)ds, где g- -другая функция из /-2(Р+), удовлетворяют одному и тому
же уравнению; кроме того, они совпадают при t = 0 и, следовательно,
тождественно равны, т. е.
Рассмотрим Z.2(R+) как вещественное линейное простран ство Z с
кососимметричной формой
Из (1.28) тогда следует, что операторы W(f) = Vf(oо) образуют
(неприводимое) представление канонического коммутационного соотношения
Вейля (1.2.12) в симметричном (бозонном) пространстве Фока T(L2(R+)), а
формулы (1.4), (1.5) дают инфи-нитезимальную форму канонического
коммутационного соотношения. При этом экспоненциальные векторы играют ту
же роль, что и когерентные состояния в случае конечного числа степеней
свободы, а отображение дуальности (см. п. 2.1) соответствует переходу к
представлению Шрёдингера, диагонализирующему операторы Q(t).
Дальнейшие сведения о квантовом стохастическом исчислении можно найти
в обзоре Мейера [128], а также в сборниках [142]-[145], охватывающих
такие темы, как связи с некоммутативной геометрией (Хадсон, Эпплбаум,
Робинсон), применение в теории кратного стохастического интеграла
(Маассен, Мейер, Партасарати, Линдсей), некоммутативные случайные
блуждания в "игрушечном пространстве Фока" и их сходимость к основным
процессам (Партасарати, Линдсей, Аккарди) и другие.
Благодаря структуре непрерывного тензорного произведения,
пространство Фока является естественным вместилищем различных
"безгранично делимых" объектов. В конце 60-х годов Араки и Стритер
рассматривали безгранично делимые представления групп и показали, что
такие представления вкладываются в
