Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 56

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 64 >> Следующая

dUt = {{L -1) dA+ (t)-(L-1)*dA <*) --[iH+±(L*L-2L +
l)]d^Ut.
Вводя изометрические операторы V\2) из Ж в § по формуле
Vi?\=Ut (9(r)tJ)0); <реЖ, и учитывая соотношения (2.5),
получаем уравнение
dV(t2) = {(? - I) dH (t) - [/// + i- (L*L -1)] dt\ V\2K (2.27)
Унитарный оператор /(1) из п. 2.1 переводит пространство Фока T(L2(R+))
в L2(N), где N, - классический пуассоновский процесс единичной
интенсивности, при этом уравнение (2.27) переходит в (2.9), проектор Р$
(Е) -в индикатор множества Е, а формула (2.26) -в представление (2.25).
Для распределения вероятностей в пространстве наблюдаемых траекторий
и апостериорных состояний получаются формулы, аналогичные (2.23) -
(2.25).
2.5. Нелинейные стохастические уравнения апостериорной динамики.
Получим стохастические дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют
наблюдаемые траектории и апостериорные состояния в процессе непрерывного
квантового измерения. Рассмотрим сначала процесс измерения наблюдаемой A
= L-\-L* с генератором (2.15). Из уравнения (2.7) для семейства Vtil)(W)
и формулы (2.23) вытекает, что плотность Pta)(W) распределения
вероятностей наблюдаемых траекторий относительно меры Винера
удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению
dp{tl){W)= mt(W) p^HW) dW t, (2.28)
где
mt (W) = Tt S\1}(W) A
- апостериорное среднее наблюдаемой А. Отсюда следует0, что наблюдаемый
процесс Y(t) является процессом диффузионного типа, удовлетворяющим
стохастическому дифференциальному уравнению
dY(t)=mt(Y)dt+dWt. (2.29)
Ч См. Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. Статистика случайных процессов.-
М.: Наука, 1974, § 7.2.
123
Применяя стохастическое исчисление Ито, получаем уравнение для
апостериорного состояния (2.24)
dS\l > (Г) - ж [S,(1 > (Г)] = [(L - mt (У)) s!n (П +
+ Sjl\Y) (L - tjit (К))*] \dY (t) - mt (У) dt], (2.30)
где
Jir[S]= -i[H, S] + LSL*-L*L°S.
Это уравнение б'лло получено В. П. Белавкиным из рассмотрения
квантового аналога задачи фильтрации случайных процессов [64]. В случае
чистых состояний уравнение для вектора апостериорного состояния имеет вид
d^)(X) = [L-mt (У)] V/>(П W(t)-mt (У) dt]-
-[ttf-fi- L*L-2Lmt{Y) + mt(YY)\^il)(Y)dt. (2.31)
Нелинейность уравнений (2.30), (2.31) обусловлена нормировкой
апостериорных состояний (2.24), в основе же лежит линейное стохастическое
уравнение (2.7) типа уравнения Закаи в классической теории фильтрации.
Большой интерес представляет задача вывода и исследования уравнений
(2.30), (2.31) в случае, когда L, Н - неограниченные операторы. В работе
В. П. Белавкина и Сташевского [65] рассмотрено уравнение
ЧП = (Q-mt (У)) ЧУ) [dY (t) - mt (У) dt]~
-[iP^l2m + \(Q-mtiX)y'\^)(Y)dt, (2.32)
которое получается из (2.31) формальной заменой Я = Р2/2т, L - Q, где Р,
Q - канонические наблюдаемые нерелятивистской частицы массы т. Это
соответствует непрерывному приближенному измерению координаты свободной
частицы. Найдено явное решение в случае гауссовского начального состояния
и показано, что оно является гауссовским с дисперсией, стремящейся к
конечному пределу при tоо. Таким образом, уравнение (2.32) снимает
известный квантовомеханический парадокс с расплыванием волнового пакета
свободной частицы.
Интересно, что сходные нелинейные уравнения, однако с совершенно иной
мотивировкой и интерпретацией, возникли практически одновременно в
работах ряда авторов, занимающихся поисками альтернативного
концептуального обоснования теории квантового измерения. В работе,
опубликованной в сборнике [142], Гирарди, Римини и Вебер поставили вопрос
о нахождении уравнений, дающих единое описание микро- и макросистем, из
которых, в частности, вытекали бы как обратимая квантовая динамика, так и
необратимые изменения типа проекционного постулата. Предлагались
различные решения этого
124
вопроса; в работах Джизена [91], Гирарди, Пирла и Римини [89] введено
уравнение типа (2.31), где, однако, вместо dY(t) - mt(Y)dt фигурирует
стохастический дифференциал некоторого априорно данного винеровского
процесса (уравнение в [91] отличается за счет выбора фазового множителя у
г|з(П)). Пусть Н = 0, L^HXiE{ - самосопряженный оператор с чисто точечным
спектром. В [91], [89] отмечается, что получающееся уравнение
= (L - < L ) ,) г)itdWt -1 (L - ( L > ,)г ^di, (2.33)
где <L)( = <tJ), j LtJ),), дает динамическое описание проекционного
постулата ij)-^iJ)(=?jijV||?Vi|5[|, в том смысле, что при решение
стремится к одному из состояний В работе Гата-
река и Джизена [88] дано математическое исследование уравнения (2.33) для
неограниченного оператора L, а также уравнения типа (2.32). Для
доказательства существования слабого решения эти авторы использовали
формальный прием преобразования вероятностной меры (теорему Гирсанова),
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed