Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 54

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 64 >> Следующая

операторы V(t) в виде хронологически упорядоченной экспоненты (1.25),
можно видеть, что они задают эволюцию системы с гамильтонианом Н,
взаимодействующей с окружением посредством сингулярного гамильтониана
Hlnt=i(LA+(t)~L*A(t)). (2.6)
Усреднение унитарной эволюции {t/,} по вакуумному состоянию шума и дает
динамическую полугруппу в Ъ(Ж).
Аналогичное унитарное расширение имеет место для произвольной
квантовой динамической полугруппы с инфинитезимальным оператором (3.2.4)-
надо только использовать квантовое стохастическое исчисление с
бесконечным набором операторов рождения-уничтожения.
С точки зрения статистической механики представляет интерес выяснение
точных условий, при которых такая в высшей степени идеализированная
динамическая система, как квантовый шум, возникает из более реалистичных
физических моделей открытых систем (см. в этой связи работу [52], где
обсуждаются приближения слабого
взаимодействия и малой плотности).
Из формулы (2.4) можно получить представления квантовой динамической
полугруппы через решения классических стохастических дифференциальных
уравнений в гильбертовом пространстве 36 (см. статью А. С. Холево в
[35]). Пусть Wt - стандартный винеровскнй процесс и {У(ш(№); f?R+} -
случайный процесс со значениями в S3(36), удовлетворяющий стохастическому
дифференциальному уравнению
dV^)m=[L(mt-{iH + \L*L)dt']v\1)(Wy,
= (2.7)
Тогда
AV^OF), (2.8}
где M(i) -математическое ожидание, отвечающее распределению винеровского
процесса. С другой стороны, nyefb Nt - пуассоновский процесс с единичной
интенсивностью и {^^(./У).
П8
*6R+} Удовлетворяет уравнению
dV\2) (N) = [(I -1) dNt - (iH + i (L*L -1)) dt ] V\2\NY,
Vq2) (N) = L (2.9)
Тогда
ФЛА] = М(2)И2)(Л0*ЛУ{2)(Л0, (2.10)
где М(2) - математическое ожидание, отвечающее распределению
пуассоновского процесса.
Заметим, что решения уравнений (2.7), (2.9) могут быть записаны в
виде хронологически-упорядоченных экспонент (мультипликативных
стохастических интегралов)
t
V\X)(W)^?v^{LdW s-[iH + ±-(L*.+ L) L^ds\, (2.11)
0
t
V\2)(N) = ex.p j(ln L)dNs-[iH + ~(L*L-1)] ds}. (2.12) o'
Ограничимся выводом представления (2.8). Введем семейство
изометрических операторов Vtl) из Ж в = (L2(R+)),
определяемых соотношением
И1)Ф = 1/(0(Ф(r)^0); ф€Ж (2.13)
Из уравнения (1.26) следует
dH/)=[ldQ(/)-(itf + -^I*l)d/]HI). (2.14)
поскольку в силу (2.5) коэффициент при dA(t) может быть произвольным.
Если воспользоваться теперь преобразованием дуальности, то формула (2.4)
перейдет в (2.8), а уравнение (1.26)-в уравнение (2.7). Аналогично, вывод
представления (2.10) из формулы (2.4) основан на преобразовании /(М из п.
2.1 (при Я=1) (см. п. 2.4).
2.3. Расширения инструментальных процессов. При рассмотрении
процессов непрерывного измерения естественно возникает понятие
безграничной делимости инструмента, которое объединяет безграничную
делимость распределений вероятностей и динамических отображений. В работе
Баркиелли и Лупиери (см. [61], [142]) указано соответствующее расширение
в пространстве Фока, которое можно рассматривать как конкретизацию общего
результата Озава (п. 4.1.2) для процессов измерения, протекающих во
времени. Ограничимся здесь двумя наиболее важными примерами.
119
Пример 1. Рассмотрим и.-процесс {Л^У,*} с генератором
&(l)(X)[X] = 2?[X\ + a(L*X+XL)-~teX, (2.15)
где L, И = И*- ограниченные операторы в гильбертовом пространстве Ж, a
S'[X] дается формулой (2.3). Согласно п. 4.2.3, это есть процесс
непрерывного измерения наблюдаемой А - в системе, эволюционирующей
с гамильтонианом Н.
Из результата Баркиелли и Лупнери следует, что
А^Я)[*] = #0[У(9ЧА-(r)р?1(Я))У(О]; ЕеЯо.и (2.16)
где {V (^)}-семейство унитарных операторов в гильбертовом пространстве =
Г (Z.2(R+)), удовлетворяющее квантовому стохастическому дифференциальному
уравнению (1.26), а Ро,1(Е); E6$o,t, спектральная мера семейства
совместимых наблюдаемых Q (s); 0<s<^, в r(Z,2(R+)) (см. п. 4.2.1) (в силу
однородности аналогичное представление имеет место и для гдea<b).
Пусть {Жa,l} - соответствующий и.-процесс в пространстве состояний.
Тогда соотношение (2.16) приобретает вид формулы (4.1.10)
Ло,){Е) [S] = Trr(r(R,.))l/ (<)(S(r)|i|>0 > ( г|>0|)Х
X^^d(r)^!/'^)), (2.17)
которая имеет ясную физическую интерпретацию: наблюдаемая система,
первоначально находившаяся в состоянии S и эволюционирующая с
гамильтонианом Н, взаимодействует с квантовым шумом посредством
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed