Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
функционалов от процесса является прямой суммой подпространств,
порождаемых n-кратными стохастическими интегралами (Винер, Ито). Вопрос -
какие другие мартингалы обладают этим свойством - привлек внимание
специалистов по теории случайных процессов. В частности, Эмери показал,
что этим свойством обладает мартингал Аземы
Xt = sgn \Vt У 2 (t - gt), (2.2)
где gt - последний нуль винеровского процесса Wt перед моментом t.
Партасарати [137] рассмотрел квантовое стохастическое дифференциальное
уравнение
dX(t) = (c-\)X(t)dA(t)+dQ(t), Х(0) =0,
и показал, что при любом сб[-1, 1] оно имеет решение, являющееся
коммутирующим семейством самосопряженных операторов и стохастически
эквивалентное (относительно вакуумного вектора) мартингалу со свойством
хаотической представимости. Как заметил Мейер, при с = 0 решение X(t)
стохастически эквивалентно мартингалу Аземы. Таким образом, в высшей
степени нелинейное преобразование (2.2) винеровского процесса оказывается
тесно связанным с линейным стохастическим дифференциальным уравнением для
некоммутирующих процессов.
2.2 Стохастические эволюции и расширения динамических полугрупп.
Интересный класс безгранично делимых объектов возникает в связи с
динамическими полугруппами. Пусть Ж - гильбертово пространство, Ф -
динамическое отображение в алгебре 3)(Ж), т. е. нормальное вполне
положительное отображение, такое что Ф[1] = 1. Назовем Ф безгранично
делимым, если для любого п= 1, 2, ... Ф=(ФП)", где Ф" - динамическое
отображение. Если (Ф<; /6R+} - динамическая полугруппа, то все
отображения Ф, безгранично делимы, поскольку Ф,= (Ф(/")П. С другой
стороны, если dim5$<°o, то всякое безгранично делимое динамическое
отображение имеет вид Ф=<?Г-е3\ где $ - условное ожидание на некоторую
подалгебру ЗЭсгЗЗ (Ш), a S - вполне диссипативное отображение,
оставляющее подалгебру
Э инвариантной [15]. Отображение <§ играет роль, аналогичную
идемпотентному делителю в теории безгранично делимых положительно
определенных функций на группах [138]. Если ^T = Id, то через Ф можно
провести квантовую динамическую полугруппу.
В работе Хадсона и Партасарати [108] было построено вложение
непрерывной по норме квантовой динамической полугруппы в пространство
Фока, которое может быть истолковано как расширение до марковского
квантового случайного процесса в смысле п. 3.2.6 (см. статью Фриджерио в
[142]). Для ffpoc-тоты ограничимся описанием конструкции работы [108] для
по-
116
лугруппы с инфинитезимальным оператором вида
&{X] = i[H, X]+L*XL-L*L°X, (2.3)
где Н, ЬЮ(Ж), Н* = Н.
Предложение. Пусть {Ф(; f6R+} -; квантовая динамическая полугруппа в
Ъ{Ж) с инфинитезимальным оператором (2.3). Тогда
o[V'(/)*(A'(r)I)V'(/)J, ХеЪ(Ж), (2.4)
где {V(t)\ *GR+} - семейство унитарных операторов в ф= =<?{?(r)r(L2(R+)),
удовлетворяющее уравнению (1.26), а отображение йГ0 :Ъ(§)-+Ъ(Ж)-
усреднение по вакуумному состоянию, определяемое формулой
Тг 5<3'0[У] = Тг (S(r) | ifoX^ol) Y.
для любого оператора плотности S в Ж и любого Уб23(,§).
Доказательство. Из уравнения (1.26) и квантовой формулы Ито вытекает
квантовое уравнение Ланжевена для X(t):
dX(t)=[L(t)*, X(t)]dA(t)+[X(t), L(t)]dA+(t) +
+W(t), X(t)]+-(L(t)*X(t)L(t)-L(t)*L(t)oX(t))}dt.
Усредняя по вакуумному состоянию и учитывая первое из соотношений
dA(t)$ о = 0, dA(t)^o = 0, (2.5)
вытекающих из (1.6), получаем, что семейство наблюдаемых Ф, [X] = S'gfV
(t)* (А'(r)1) V (^)] в алгебре системы 95 (Ж) удовлетворяет уравнению
dQ>t[X\ = Q>t\2[X\\dt\ Ф0[Л] = Х.
Отсюда следует, что Ф, [-Y]= exp tS [А"] = Ф( [А").
Пусть теперь {Y(; ^6R+} - соответствующая динамическая полугруппа в
пространстве состояний. Из представления (2.4) вытекает конструктивное
доказательство теоремы о расширении, сформулированной в п. 3.2.6.
Обозначим Жо = Т'(Ь2(Я)) пространство Фока, ассоциированное с L2(R), и
пусть S0= = I"Фо><г1?о 1, где г|)0- вакуумный вектор в L2(R). В
пространстве Ж(r)Жо действует группа унитарных операторов временного сдвига
{??,; ^6R}, определяемых как в п. 1.4. Поскольку Жа - = T(L2(R_))
<g>r(L2(R+)), где R- = (-°о, 0), действие основных процессов A(t), A+(t),
A(t)\ /GR+; естественно переносится в Ж(r)Жо- Решение уравнения (1.26)
является тогда семейством унитарных операторов {V(^); i6R+} в Ж(r)Жо,
удовлетворяющим соотношению коцикла (1.19). Из этого соотношения
вытекает,
117
что
г??у(<), т+,
Ut = \V(-t)*90 *6R-
является группой унитарных операторов в Поскольку
- Х(r)\, из (2.4) следует, что
'P<[SI=Tr^it/<(S(r)S0)?/;, *6R+.
Построенное расширение имеет прозрачную физическую интерпретацию.
Группа операторов временного сдвига {Р,} описывает динамику квантового
шума, который играет роль окружения рассматриваемой системы. Записывая
