Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 52

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 64 >> Следующая

t
вытекает, что процессы Vf(t)Vg(t) и Vf+g(t) exp /(s)X

о
Vf{t)Vg (i)=-.Vf+g(t) exp Пш J f(s)g(s)ds .
(1.28)
CO
§ 2. Расширения в пространстве Фока
8-9280
113
пространство Фока. Поскольку представление группы определяется некоторой
положительно определенной функцией, то этот результат дает запись
безгранично делимой положительно определенной функции через фоковское
вакуумное среднее (см. [96}, [138]). Отсюда также следует, что всякое
безгранично-делимое распределение вероятностей может быть реализовано как
распределение некоторой квантовой наблюдаемой относительно вакуумного
состояния в пространстве Фока. Таким образом, пространство Фока вмещает в
себя все процессы с независимыми приращениями, а также процессы
"квантового шума", которые дают универсальную модель окружения открытой
квантовой системы. Это обстоятельство лежит в основе конструкций
расширения, использующих фоковское пространство.
2.1. Винеровский и пуассоновский процессы в пространстве Фока. Если
{X(t)\ ^GR}- коммутирующее семейство самосопряженных операторов в
гильбертовом пространстве то оно диа-гонализуемо: существует пространство
с мерой (?2, 3t(Q), jx) и унитарный оператор / из ф на L2(Q, (л), такие
что
(/Jf(f)/-^) ((c)) =Х(((c))ф((c)),
для фб?2(Й, [г), где -^(ю) -вещественные измеримые функции. При этом для
любого грбф и ограниченной борелевской функции f(x 1, ..., х")
<ф !/(*(*,). ....*¦(<"))!|>> =$/(Ал(со), А'<яИ)Р(сМ
где P(d(o) = | (7-ф) (со) |2ц(^со)-вероятностная мера на Q. В этом
смысле семейство {-Х'(г')} в гильбертовом пространстве ф с выделенным
вектором т|э стохастически эквивалентно случайному процессу {*,((c))} в
вероятностном пространстве (Q, *(Q). Р).
Рассмотрим коммутирующее (в силу (1.5)) семейство самосопряженных
операторов (Q(?)} в r(L2(R+)). Пусть {Wt; ?GR+}- стандартный винеровский
процесс, L2(W)-гильбертово пространство комплексных квадратично
интегрируемых функционалов от винеровского процесса. Отображение
дуальности (Сигал)
со
J* = fo + 2 J • • • ! Л"1, . ¦ *n)dWtl . .. dWtn,
"-> Фл
где в правой части формулы - кратные стохастические интегралы в смысле
Ито, является изоморфизмом пространства Фока ?=r(L2(R+)) и L2(W), причем
hро=1; JQ(t)J~' = Wt.
Поэтому семейство (Q(?)} в T(L2(R+)) с вакуумным вектором ifo
стохастически эквивалентно винеровскому процессу Wt. "Аналогичное
утверждение справедливо и для коммутирующего се-
114
мейства {Я(^)}. Заметим, что в силу (1.5) операторы Q(t) и P(s) не
коммутируют между собой и поэтому семейство {Q(0> P(t)} не эквивалентно
двумерному винеровскому процессу. Унитарный оператор ?/ф(т)="|т|ф(т)
переводит if)0 в if)0 и
P(t) = UQ(t)U-K
Оператору U в L2(W) отвечает преобразование Фурье-Винера и.
Рассмотрим теперь коммутирующее семейство самосопряженных операторов
{Л(^)}. Пусть {Nt; /GR+}- пуассоновский процесс интенсивности Я на
вероятностном пространстве (?2Г 31 (Q), Рх) и L2(N)=sL2(Q, Рх).
Отображение
оо
^("Ч = /о + 2 .-.,tn)dXtl...dXt ,
п=1
где Xt = X~V2(Nt-Xi)-компенсированный пуассоновский процесс, является
изоморфизмом пространства Фока r(L2(R+)) и L2(N), причем
У(Л\|)0=1, =
где
n(M(f) = AlO + VTQ(f) + M. (2.1)
Таким образом, семейство {П(Х>(0} в r(L2(R+)) с вакуумным вектором -фп
стохастически эквивалентно пуассоновскому процессу [108].
С точки зрения классической теории вероятностей соотношение (2.1) не
может не вызвать удивления - пуассоновский процесс представлен как сумма
винеровского процесса с постоянным сносом и процесса A(t), равного нулю
почти наверное (относительно вакуумного состояния). Дело, конечно, в том,
что слагаемые не коммутируют и поэтому не могут рассматриваться как
классические случайные процессы на одном вероятностном пространстве.
Заметим, что подобная связь между пуассо-новским и нормальным
распределением хорошо известна в квантовой оптике [21].
2 2
В подходящее пространство Фока r(L^(R+))> где Ьур(R+) - пространство
квадратично-интегрируемых функций со значениями в некотором гильбертовом
пространстве Ж, может быть вложен произвольный стохастически непрерывный
процесс с независимыми приращениями (Партасарати, см. [128]).
Представление такого процесса требует, вообще говоря, бесконечного' числа
независимых процессов рождения-уничтожения-числа частиц.
Среди процессов с независимыми приращениями только ви-См. Т. Хида.
Броуновское движение.- М.: Наука, 1987.
8*
its
неровский и пуассоновский обладают следующим свойством хаотической
представимости: гильбертово пространство квадратично интегрируемых
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed