Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
I(t)J(i) является стохастическим интегралом, причем
d(IJ)=I(dJ) + (dI)J+ (dl) (dJ),
где произведение вычисляется по следующим формальным правилам: значения
любого согласованного процесса в момент t коммутируют со стохастическими
дифференциалами основных процессов dA(t), dA(t), dA+(i), dt, а в
слагаемом (dl) (dJ) -Произведения стохастических дифференциалов основных
процессов
108
находятся согласно таблице умножения
|dA* dA dA dt
dA dt dA 0 0
dA dA+ dA 0 0
dA+ 0 0 0 0
dt 0 0 0 0
(1Л6)
Алгебра стохастических дифференциалов (1.15) с таблицей умножения
(1.16) изоморфна некоторой алгебре ЗХЗ-матриц. Особенно удобна
реализация, предложенная В. П. Белавкиным в [35]: соответствие
dl = M0dA + MxdA + M2dA+ + Мф++
m
'о
о м0 о о
М 3'
м2
о
(1.17)
оказывается инволютивным алгебраическим изоморфизмом, переводящим
инволюцию (dI)* = M0*dA-j-M2*dA-j-M1*dA+-j-M3dt в инволюцию
'0 мх m; ? '0 м\ мц
0 M0 M2 = 0 м; м\
0 о _0 0 0
о
Пример. Рассмотрим стохастические интегралы
I t
В (t) = С J (s) dA (s), В* (t) = J J (s) dA+ (s),
о 0
где J= l)A<o_сильно допустимый процесс. Из формулы (1.24) следующего
пункта вытекает, что J (t) удовлетворяет уравнению
dJ=-2JdA.
Пользуясь таблицей (1.16), находим
d. (BJ+JB) =-2 (BJ+JB)dA.
Поскольку В (0) =0, то из теоремы следующего пункта вытекает, что В
(/)/(/)+/(/) В (t) =0. Снова пользуясь таблицей
(1.16), находим d(BB+-{-B+B)=dt, откуда
т. е. операторы B(t), В+(I) удовлетворяют каноническому ан-
тикоммутационному соотношению для фермионных операторов рождения-
уничтожения. Этот факт лежит в основе изоморфизма между симметричным
(бозонным) и антисимметричным (фермионным) пространствами Фока,
установленного Хадсоном и Партасарати [109].
109
Квантовый стохастический интеграл и формула Ито имеют естественное
обобщение на случай многих степеней свободы, когда основные процессы
Aj(t), Ah+(t), A}h(t) многомерны и действуют в пространстве Фока
r(I^2(R+)), где Ж- гильбертово пространство, размерность которого равна
числу степеней свободы (Хадсон, М. П. Эванс [143], В. П. Белавкин [35]),
а также в нефоковских пространствах, связанных с гауссовскими состояниями
канонических коммутационных соотношений (Хадсон, Линдсей [142]).
1.4. Квантовые стохастические дифференциальные уравнения.
Рассмотрим линейное однородное квантовое стохастическое дифференциальное
уравнение
dV^[L0dA+LldA+L2dA++L3dt)V, t^O, (1.18)
с начальным условием V(0)=I, которое является краткой записью
интегрального уравнения t
V (t) = I -f ^ [L0 (s) dA (5) + Lx (.s) dA (s) + L2 (s) dA+ (s) +
0
+ Z.3(5) ds]y(s).
Модифицируя рассуждение Хадсона и Партасарати [108], основанные на методе
последовательных приближений, можно доказать следующую теорему.
Теорема. Если {La} - сильно допустимая четверка, то решение {V(0;
^6R+} уравнения (1.18) существует, единственно и является сильно
непрерывным согласованным процессом.
Обозначим ff't оператор временного сдвига в : ^^(т) =
= г|>(т{), где tt={ti + t, . • •, tn+t}, если т={*ь . . . , tn}. Решение
V(t) удовлетворяет уравнению коцикла
V(t+u) = (9>u*V(t)9>u)V(u); t, uGR+. (1.19)
Особый интерес представляет случай, когда V(t), /GR+, являются унитарными
операторами. Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение (1.18)
имело вид
dV = [(W -1) dA + LdA+-L*WdA -
(iHr\- у 1*1 ^jdt]V, (L20)
где W - унитарный, а Я- самосопряженный операторы из "(3S).
Весьма важной является задача обобщения теоремы существования и
единственности решения уравнения (1.18) на случай неограниченных
коэффициентов La(t). Некоторые результаты в этом направлении имеются в
работах Хадсона и Партасарати [108], Журне [113], Фриджерио, Фаньолы, А.
М. Чеботарева [75]. В работе [113] частично решена задача описания силь-
но
но непрерывных унитарных решений уравнения (1.19). Этот вопрос тесно
связан с проблемой консервативности, обсуждавшейся в п. 3.2.3.
Уравнения типа (1.18) связаны с линейными стохастическими
дифференциальными уравнениями в гильбертовом пространстве (см., в
частности, А. В. Скороход [33]), и можно надеяться, что эти два
направления взаимно обогатят друг друга. Решения уравнения (1.20)
являются некоммутативным аналогом мультипликативного процесса с
независимыми стационарными приращениями в группе унитарных операторов.
Общая теория таких процессов развита Аккарди, фон Вальденфельсом и Шур-
маном [54]. Последний показал [144], [147], что всякий такой процесс,
удовлетворяющий условию равномерной непрерывности, является решением
уравнения типа (1.20). Используя аналогию с квантовыми процессами, А. С.
