Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Далее ^=^?(r)r(L2(R+)), где Ж-некоторое "начальное" пространство.
Элементы ф можно рассматривать как функции tf(r), тб$р, со значениями в
Ж. Будет удобно не различать в написании операторы, действующие в Ж, или
в T(L2(R+)), и их поднятия в ф; например, A(t) обозначает как оператор в
T(L2(R+)), так и оператор 1(r)Л(^) в ф (где I - единичный оператор в Ж).
Обозначим Ж(r)Ге алгебраическое тензорное произведение Ж и Ге. Семейство
(вообще говоря, неограниченных) операторов {M(t)\ /GR+}, определенных на
Ж(r)Ге, будет называться процессом в ф.
Соотношения (1.8), (1.9) задают естественную фильтрацию в пространстве
ф. Процесс \ /6R+} в ф называется согла-
сованным (с данной фильтрацией), если для любого /GR+
где Mt\ - оператор, действующий в Ж(r)Т(1-,2(0, t)), a I^ - единичный
оператор в T(L2(t, оо)). Благодаря (1.8), (1.9), определено отображение
условного ожидания <%t\ в алгебру операторов вида (1.10), согласованное с
вакуумным состоянием | гро ) < "фо I- Согласованный процесс называется
мартингалом, если \М (s)] = M (t) при s>t. Основные процессы (Л(<)},
{Л+(^)}, {Л(/)} являются мартингалами.
Партасарати и Хадсон [108], [20] построили стохастический интеграл от
согласованных процессов по основным мартингалам A(t), A*(t), A(t). Дальше
излагается модификация этой конструкции (см. статью А. С. Холево в
[145]). Процесс {М (/"); *ё[0, Г]} называется простым, если существует
разбиение О = ^0 <*i < ... < tN = T, такое что M(t) = M(t1_x) для
t?[t}_x, tj). Для четверки простых согласованных процессов {Л!*^)}, о =
0, 1, 2, 3, стохастический интеграл определяется соотно
1J5/ = 5-
(1.9)
(1.10)
106
шением
т
/(Г) = ^ (M0dA + M]CtA + M2dA+ + Mzdt)--
N
= 2 {Af0 (<M) [Л (<;)-Л (<;-!)] +
2!
^ II (0 ^<8^/1| dt
(1.П)
+ TWj (tj_,)[A (tj) - A(^;-_i)],+ \A+(tj) - Л+ (^/_i)] +
+ M3 (tj_x) (tj - tj_j)}.
Из неравенств Журне (см. [128, п. V.1.4]) вытекает оценка
sup ||/(0^(r)$WC<C(||/||)-k|/")|2X
О <i<T [J
т
X||-M0(*)'ip(r)i|vll2^ +[||-лМ*)'ф(r)1|)/||2 + (1.12)
о
~т
+1| ^2 (О 'Ф (r);Ф/ II2] dt -f-
- о
где f?L2(R+). Назовем {Л1а(^)} допустимой, четвертой,
если для любого е>0 найдется четверка {Л4а(^)} простых согласованных
процессов, такая что
ess sup || [M0(t) - М0(OH(r)iM <е, о </<г
т
^ ||[Ml|2(*) - vWl,2(0]ll3(r)ll3/||2^<E,
о
т
\ II [Мз(*)-Мз(0И(r)1|>/II *"<.!,
о
и сильно допустимой четверкой, если для любого е>0 найдется
четверка {Жа} простых согласованных процессов со значениями в Я5 (Ф),
такая что
ess sup || M0(t) - MQ (*)|| <е,
0<"Г
г
oJ (1.13)
г
11^3 (<) - M3{t)\\dt<z.
О
107
Из неравенства (1.12) вытекает, что для любой допустимой четверки
стохастический интеграл г
I(T) = ^(ModA + M^A + MtdA' + M^dt) (1.14)
о
определен на Ж(r)Те как сильный предел стохастических интегралов вида
(1.11) от простых процесов {Ма} и является согласованным процессом. Если
Л43е=0, то /(t) является мартингалом; доказано, что достаточно
произвольный ограниченный мартингал в пространстве Фока является
стохастическим интегралом (Партасарати и Синха). Пример неограниченного
мартингала, не представимого в виде стохастического интеграла по основным
процессам, содержится в работе Журне [113].
Из определений (1.2) основных мартингалов вытекает явная формула (В.
П. Белавкин [35])
t
(/ (t) г0) (т) = J [Ж3 (s) г|) + Ж, (s) >] (т) ds +
О
+ 2fyM2(S)1l, + -/Wo(S)^(*)] (*\{S})>
где т|зы(т) =^(tU{s}), которая может служить для альтернативного
определения стохастического интеграла, имеющего смысл для более широких
классов процессов (включая несогласованные процессы).
Стохастический интеграл по процессам в антисимметричном пространстве
Фока рассматривался Барнетом, Стритером, Уайлдом [62], [141], Хадсоном и
Эпплбаумом [107].
1.3. Квантовая формула Ито. Соотношение (1.14) принято записывать в
дифференциальной форме
dl=M0dA+MldAJrM2dA^+Midt. (1.15)
Пусть J(t) - другой стохастический интеграл, так что dJ = = NadK:^-NidA-
\-N2dA+-\-Nzdt,
Теорема. Если четверки {Ма}, {Na} сильно допустимы, то произведение
