Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
? ? 321 [1] [-1]
е (12) (2
?? ? 211 1 0 1 0 1 ~2
121 1 —1
???? 1111 [1] для всех элементов
? ? ? ? 4321 е [1] (и) [-1]
/3
(13)
1 /3
2 2
_1_
2
(12)
???
?
??
?
?
2111 -10 0" 1 О о
1211 1 0 1 0
1121 1 —і
2111
1211
1121
3211
3121
1321
(34)
/8
З З З
е (12)
3211 1 0 0 1 0 0
3121 1 0 —1 0
1321 1 _ —1 _
(34)
—10 0
1 2 У 2
3 3
1
3
Сї| СЛ
Продолжение
(13)
(14)
V 2
О
У~з
2
J_
T
Кб
3
/3
2 2 (13) /3
2
2
4- о
(24)
V 2
3
5_
6
/6
3
VT
6
_i_
2
(14)
КЗ
6
__5
6
y±
3
’/2
3
_1_
3
(24)
КЗ 6 3
Кб
/2
З
З
П родолжение
??
??
2211
2121
S5: ????? 11111
????
?
е (12) (23) (13) (34) (14)
1 0 1 0 —1 1 1- СО| 1 —1 1 1- 1 К [со| 1 1 0 1 Уз '
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 —1 1
1 2 2 2 _
ш
21111 1 0 0 0- "10 0
12111 1 0 0 1 0
11211 1 0 1
11121 1
(14)
21111 -1 0 0 0
12111 1 "3 — / 2 / 6 3 3
11211 5 6 Уз 6
11121 і 2
для всех элементов 02)
1 0 1
(13)
О
0
1
2
(24)
О
О
/3
2
J_
2
0 0 о -
1 У2 У 6
3 3 3
5 /3
6 6 1 2 _
1 О 1
(23)
О
О
____1_
2
О
О
Уз
2
_1_
2
(34)
21111
12111
11211
11121
О
/8
З
З
(45)
1 /Ї1Г
4 4
_1_
4
21111
12111
11211
11121
(25)
/Ї1Г /ЗО /Ш
12
_П_
12
12
/2
12
5_
"6
/6
12
/3
6
_1_
2
Продолжение
О О
0 О
1 О 1
(35)
1 /Ї5 /30
4 12 6
11 /2
12 6
1
3
(15)
1 /15 /30 /10 "
4 12 12 4
И /2 /6
12 12 12
5 /3
6 6
1
2
ппп
??
22111 1 О о $ о о -1 0
“31211 10 0 0 і 2
21121 —10 0
12211 1 0
12121 —і
— (14)
22111 1 ~ "3 V2 3 /6 3 0 0
21211 5 6 /3 6 0 0
21121 1 2 0 0
12211 — 1 2 YS 2
12121 1 2
П родолжение
22 Ш 21211 21121 12211 12121
22111
21211
21121
12211
11211
(34)
2/2
З
З
(45)
О О
0 о
1 о 1
о о о о —1 (35)
О О
-3 0 3
5 8/2 0 8 0
27 27 9
23 0 2/2 0
27 9
1 0 2/2
— 3 3
1 0 1 3"
3
Продолжение
О
О
2 У 2
3
О
3
/ 2 9
І2. ' 54
(15)
1 /2 V& 4 4/3
3 9 9 9 9
19 23/3 8/2" 4/6
54 54 27 27
1 2 4/6 27 37 54 0 5/3 54 1 2
(25)
/б 4 4/3 “
9 9 9
23/3 8/2 4/6"
54 27 27
1 4/6 О 5/3 54
2 27 37 54
2
??I
???
32111
31211
31121
13211
13121
11321
32111
31211
31121
13211
13121
11321
(12)
+10 0 0 0 1 ООО
—10 О
1 О
—1
1 У 8
(34)
3 ° °
1 О —1
о
о
о
о
_j_
3
Продолжение
(23)
O'
О О О
о -1 _
о
о
о
о
/8
3
3
-1
о
/3
2
2
О О О"
О О О
О О О
1 2 /3 2 О
1 2 О
(45)
О О VT5
о
' 4
4
О
J_
Т
—1.
О
О
/15
4
О
2
4
274
Глава 7. Симметрическая группа
Сумма, стоящая в правой части равенства (7.114), легко вычисляется при любом я. Сравнивая ее с суммой (3.159), которая в случае симметрической группы Sn имеет вид
2«2=я!, (7.115)
и й
мы получаем неравенство
|Л/2| ---
У-Й-------------> у — • (7.116)
** 2Рр!(а-2Р)! V п\
Величины Пц задаются равенствами (7.66) и (7.60). Подставляя эти выражения в (7.114), мы получаем замечательную формулу суммирования
\Ш2]
SD (Я] m — 1, Я2 -f- m — 2, ..Xm) _____ 41 _____1______
(Я, + 7тг —1)!(Я2 + 7тг —2)! ... Ят! — Li 2&рі (л — 2Р)! '
m 13-0 к
§ 8. Метод Хунда
Метод рассмотрения симметрической группы, предложенный Хун-дом1), является физическим вариантом математического метода, основанного на рассмотрении групповых алгебр.
Предположим, что мы имеем дело с некоторой системой эквивалентных частиц. (Под термином „эквивалентный" мы подразумеваем, что гамильтониан задачи, который может по отношению ко всей задаче в целом быть некоторой аппроксимацией, инвариантен при перестановке координат таких частиц. Термин „тождественный" означает, что мы уверены при настоящем уровне наших знаний в том, что точный гамильтониан инвариантен при перестановке частиц.) Если нам задана любая собственная функция ф(1, ..., я), принадлежащая некоторому данному собственному значению гамильтониана, то любая из я! перестановок координат частиц будет приводить к собственной функции, принадлежащей той же энергии. (В записи функции ф символ 1 означает все координаты первой частицы и т. д.) Таким образом, переставив между собой координаты двух первых частиц в ф, мы можем получить линейные комбинации
Ч>(1. 2.....я) + Ч>(2. 1.......я) = (в + (12))Ч>(1, 2.....я),
ф(1. 2......я) — ф(2, 1........п) = (е —(12))ф(1, 2.....я), ( ' }
которые также являются собственными функциями и соответственно симметричны и антисимметричны по частицам 1 и 2. Оператор
‘) Н и п 4 F„ Zs. Phys., 43, 788 (1927).
§ 8. Метод Хунда
275
перестановки е-\-{\2) называется симметризатором, а оператор е — (12)—антисимметризатором частиц 1 и 2. Продолжая этот процесс, мы можем попытаться построить из исходных собственных функций ф функции, симметричные (антисимметричные) относительно наборов, состоящих из большего числа частиц. Оператор, симметри-зующий ф относительно некоторого набора частиц, имеет вид
2 Я. (7.119)
р
где суммирование производится по всем перестановкам частиц Р, принадлежащим рассматриваемому набору. Точно так же антисим-мегризагор для этого набора имеет вид
