Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
О v ) \2, I )
ответственно коэффициентам при х^хх22. . . xhjp в выражениях
D(xx, ..., xm) (л:, -|- ... -|- хт)п (7.58)
D(xi........*т)(*.+•••+0'’~2И+•••+*„)> (7.59)
где
h}==- —|— ш —-1, (7.60)
254
Глава 7. Симметрическая группа
Начнем с (7.58). Каждый член в разложении D(Xi) имеет вид
(7.61)
где числа k образуют некоторую перестановку целых чисел m—1, rti—2, ..., О, знак чіена определяется тем, будет ли эта перестановка четной или нечетной. Чтобы получить из (7.61) требуемое выражение, мы должны умножить (7.61) на
п\
(А, —Лх)!.. .(Ат— *«)! і так что искомый коэффициент равен
kK..xh™ *4
1
у --- /) I -j- ________________________
го и - (h,-k,)\...(hm-km)\ ’
(ft)
где сумма берется по всем перестановкам чисел m — 1, сумма является разложением определителя
= я!
Л.0
1
1
[h2 — (т — 1)J! [h2 — (m — 2)]! h2\
1
1
1
(7.62)
(7.63) 0. Эта
(7.64)
[hm — (т — I)]! [hm— (m— 2)]! h„
Вынося множитель 1ДЛ]!.. . hm!), получаем
y — nl X
Ло— hi \h2 \... hml ^
A, (A, — 1) ... (A, — m + 2) A, (A,-l) ... (Aj—m + 3) ... А, 1 Л2(Л2—1) ... (A2— m-\- 2) Л2(Л2—1) ... (Л2—т-\-Ъ) .. . Л2 1
X
Лт(Лт-1). . .(Am—m + 2) Am(Am—1).. .(Am-m + 3) . . . hm 1
(7.65)
Столбцы определителя (7.65) представляют собой многочлены степени т—1, т — 2, .... 0 со старшим коэффициентом, равным еди-
§ 6. Вычисление характеров по формуле Фробениуса
255
нице. Следовательно, вычитая подходящим образом столбцы друг из друга, мы можем привести (7.65) к виду
*о— А,!...Лт!
Л"
т — 2
аГ1
лГ1 лГ2
.т-I .т-2 ‘Lm •i’m.
h\
fl2
A,!
¦^(*1......Лт)-
Чтобы вычислить
применим (7.66) к (7.59):
У =Г= у(М Л (2, Iя-2)’
m
v /„ ол і V' Д (А', /г2, . ¦Аг 2, ..., Am)
X <.« А,!А2!...(А) — 2)!...Ат!
г-1
Нам потребуется величина
п(п— 1) X 2 Х„
Из (7.66) и (7.67) имеем
m
| ^ ht (hi — 1) D (hu A2, ..., А/ — 2, ..., Am)
г-і
0(Aj......hm)
(7.66)
(7.67)
(7.68)
(7.69)
Знаменатель в (7.69) является знакопеременной функцией от ht [ср. замечания, сделанные по поводу (7.23)]. Сумма в числителе также является знакопеременной функцией от ht. [Проверка того, что числитель содержит все множители (ht—hj), предоставляется читателю.] Следовательно, их отношение должно быть симметричным полиномом второй степени относительно Лг:
2МЛг-1)Д(Л„ Л2, .... ht — 2.........hm) =
І
— D (hi.....+ (7.70)
Сравнивая коэффициенты в левой и правой частях равенства (7.70), мы можем определить А, В, С, F. Прежде всего рассмотрим члены, в которые А] входит в сїепени rti-\-\ или т., а степень Л2 больше
256
Глава 7. Симметрическая группй
или равна ш—2. В левой части такие члены встречаются только при і — 1:
А, (А, -1)
/г. г»\^ —1 /і \ ш — 2
(Л, — 2) (Л, — 2)
. m—l , m-2
Лг Лг
|Л™-3 ... Ат-,1. (7.71)
где |/г™"3 ... Лот_і| — определитель, который получается после вычеркивания из определителя D (Л) первых двух строк и столбцов. Разлагая (7.71), получаем
Л, (Л, — 1) \h2~2 [h?-x — 2 (m — 1) А?-2 .. .} —
— ЛГЧЛГ2 — 2(m — 2)ЛГ-3}].|Л3т-3 ... Ат_,| =
= [А™ * _ лГ/гГ2 _ 2 (т - 1)AW'2 - hfhf'1 .. .] X
ХІА”-3 ... Am-il- (7.72) В правой части (7.70) эти члены входят лишь в
[лГ_,Л2г-2 — ЛГ-2Л^_,][л/г?+АЛ,Л2 + СЛ,+ .. .] X
Х|Л3т_3 ... Am_i |. (7.72а)
Сравнивая коэффициенты, получаем
Д = 1, В = 0, С = —(2/и —1). (7.73)
Постоянная F есть коэффициент при ЛГ'Лг*-2 • • • Аот_і в правой части (7.70). Этот одночлен в левой части (7.70) получается только из главной диагонали определителя. В г-м слагаемом диагональный член равен
h?~'h2~2 ... ht {hi — 1) (А/ — 2)m~l ... Am_!, так что коэффициент при ЛГ^А™-2 ... hm_\ равен
2 (т — і){т — / — 1)+ 2 {т. — і) = 2 (т — I)2
и
т
F = 2^(m~ l)2 = jm(m — 1) (2m — 1). (7.74)
/ = і
Пользуясь (7.69) и (7.70), находим
?-42>j- % 0, + -? <" . (7.75)
Подставим теперь ht из (7.60) и получим
т т
б=4Е^+1)-2а** (7-76)
/*.1 /=1
Задача. Воспользуйтесь соотношением (7.66), чтобы найти нейриво-димое представление группы S18, соответствующее разбиению (4, З2).
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы $п
257
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы S„.
Символы Яманучи
Обратимся теперь к задаче построения матриц неприводимых представлений группы Sn. Мы будем следовать статье Яманучи1).
Рассмотрим неприводимое представление D(R), характеризуемое разбиением (^). Будем предполагать, что нам известны неприводимые представления группы Sn_l —группы перестановок символов 1, 2, ...
.. ., п — 1. Все перестановки группы Sn, которые содержатся в этой подгруппе Sп_х, обладают тем свойством, что оня оставляют без изменений последний символ п. Поэтому всякий элемент R группы Sn, который содержится в Sn_lt имеет вид ((I), 1) и, следовательно, мы имеем право применять правило ветвления (7.52). Равенство (7.52) можно выразить на языке представлений: для элементов R, содержащихся в Sn_l, матрица представления D(R) равна сумме матриц представлений Dr (R), где Dr — неприводимое представление группы Sn_x, соответствующее разбиению (A,lf .......Хг— 1, .... В ма-
тричных обозначениях это запишется так:
D(R)=* 2 Dr(R)
(7.77)
4-і > S-и
