Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
. 6, СЛ 2, 1
, 4, сл 2, 1
, 6, со 2, 1
, 6, сл 0, 1
, 6, сл 2, —1
поэтому мы можем исключить из рассмотрения первую и последнюю последовательности. Расположим числа в оставшихся последовательностях в порядке убывания. Будем помечать последовательность зна-
§ 5. Рекуррентные формулы для характеров
251
ком -)- или — в зависимости от того, будет ли необходимая для этого перестановка четной или нечетной:
—8, 5, 4, 2, 1;
+8, 6, 3, 2, 1;
—8, 6, 5, 1, 0.
Поскольку эти последовательности являются последовательностями типа (7.49), мы получим значения X, вычитая из первого числа ш — 1=4, из второго от —2 = 3 и т. д.
—4, 2, 2, 1, 1;
+4, З, 1, 1, 1;
—4, 3, 3, 0, 0.
Окончательно наша рекуррентная формула будет иметь следующий вид:
у (4, 3=, 12) _ _ у(4, 22, 12) I у(4, З, 1») __ у(4, 32) (7 514
Л((/), 2) ЛW Л(/) Ці) •
В качестве второго примера найдем рекуррентную формулу, позволяющую выразить x<V’4)5) чеРез Величины ц равны 7, 6 и 5,
т = 3, так что последовательность (7.50) имеет вид 9, 7, 5. Вычтем по очереди из каждого числа по 4:
б,7,-?~ 9. 3, 5; 9, 7, 1.
Переставим члены последовательностей в порядке убывания: —9, 5,
3; —)—9, 7, 1 и вычтем 2, 1, 0, в результате чего получим —7, 4,
3; 4-7, 6, 1, откуда
у (7, 6, 5) у (7. 6, I) у (7, 4, 3)
/-((0, 4) Л{/> Ці)
Чрезвычайно важен случай, когда мы отбрасываем цикл длины 1 (/¦= 1). В этом случае мы должны последовательно вычитать из каждого члена последовательности (7.50) по 1 и то, что получится, отождествить с (7.49). На этот раз члены не могут располагаться в беспорядке (единственный непригодный для нас результат может заключаться в том, что два члена станут равными), и мы получаем возможность оперировать непосредственно с величинами X и ц. В результате сравнения мы получаем правило ветвления
xS>1) = Sxg«.........(7-52)
где суммирование проводится по всем получающимся разбиениям, которые правильны (т. е. таким, для которых — 1 ^-Мт-н)*
252
Глава 7. Симметрическая группа
Предположим, что мы отбрасываем второй цикл длины 1. Повторяя наши рассуждения, получаем
2 4)1....s *rs%P.....................^.......
Hr-2>»r + i Иг-1>йг + 1
(7.53)
где ars = 2, если только /• и s не являются последовательными целыми числами и не равно в противном случае ars=l.
Последнее выражение чрезвычайно громоздко. Гораздо удобнее изображать его графически. Чтобы перевести эту рекуррентную формулу на язык графов, рассмотрим сначала случай (7.52). Предположим, что при построении графа разбиения (|х) с помощью правильного размещения узлов, соответствующего классу ((I), 1), мы отбрасываем при последнем правильном размещении (одного узла) цикл длины 1. Перед этим последним шагом мы уже построили разбиения (я) числа п — 1 с помощью правильного размещения, и теперь для того, чтобы построить разбиение (|х), мы пытаемся разместить последний узел. Это последнее размещение положительно. Число способов, которыми можно построить разбиение (л), равно характеру класса (Г) для этого разбиения числа я—1. Поэтому характер класса ((I), 1) в разбиении (|х) равен сумме характеров класса (Г) во всех правильных графах, получаемых из (ц) (правильным) выбрасыванием одной точки. Например, из схемы
пппга
??
?0
1*1
X
(7.54)
можно удалить любую из точек (одну), помеченных крестиком, и поэтому
v(6, 4», 3, 2) _ y(5, 4а, З, 2) I v(6, 4, 3=, 2) I 7(6, 4=, 2») I y(6, 4=, 3, 1) П 54.Л
H(l), I) Ml) ' k(l) • V )
Выбрасывание двух циклов длины 1, которое привело к выражению
(7.53), графически можно описать как два последовательных правильных удаления по одному узлу. Из нашей схемы можно усмотреть и причину того, почему выражение (7.53) столь сложно. Мы удаляли по одному узлу сначала из строки 1, затем из строки 3, или наоборот, в результате чего получающееся разбиение входит в сумму дважды. Если же взять строки 2 и 3, то сначала мы должны произвести выбрасывание из строки 3, а затем из строки 2, в силу чего это разбиение войдет в сумму лишь один раз.
§ 6. Вычисление характеров по формуле Фробениуса
253
Выбрасывание цикла длины 2 означает правильное удаление 2 точек. Чтобы удаляемая полоска была правильной, она должна иметь вид
?? ИЛИ ? (7.55)
где первая полоска положительна, а вторая отрицательна (четное число строк). Таким образом, в разбиении
?????
??шш
130
можно удалить лишь косо заштрихованные полоски из 2-х клеток, так что
у (5, 42, 2) _ у (5, 42) і у (5, 4, 22) _ у(5, 3’, 2) (j 55-)
Л( (/), 2) %) I f-(l) f-(l) • V
При отбрасывании цикла длины 3 правильными полосками являются
? ?? ?
+
??? ?? j^J (7.57)
+
Вообще для цикла длины г существует 2Г-1 различных полосок.
Задача. Воспользуйтесь рекуррентными методами для вычисления а) если известньІ б) Х((/),2’з,1)іу если известны х$у
§ 6. Вычисление характеров по формуле Фробениуса
Последний метод вычисления характеров состоит в непосредственном использовании формулы Фробениуса (7.24). Проиллюстрируем этот метод на нескольких простых примерах, которые понадобятся нам впоследствии. Согласно (7.24), % и % = „ равны со-
