Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Я,,+т-1 a, +m_2 Хт Л1 2 • • • лт
в выражении
D(*i)s(i).
Запишем (I) в циклической форме (/,, /2, .. .) и будем умножать D (xt) последовательно на
Si .=2jx‘i'......V = 2*P-
/ 1 і
Мы исходим из выражения
D (.х,) = 2 ЬРРхТ~1Х2~2 і*'
Р
и пытаемся вычислить коэффициент при
х\ + т-1Х2 + т-г X Л1 2 т ¦
Если какие-нибудь два показателя в некотором члене равны, то коэффициент при нем (на любом этапе вычислений) равен нулю. Предположим, что /,—это цикл длины 1 (как это было в только что разобранном нами случае). Тогда, умножая D(xt) па 2*;. мы обнаружим, что единственный член, который не равен нулю, получается
§ 4. Графический метод нахождения характеров
241
в результате умножения на jcj . Поэтому мы помещаем одну точку в первой строке. Представим себе, что ^ = 2. В этом случае мы должны умножать на 2 хг Существует два отличных от нуля члена:
это те, которые получаются от умножения на х\ и х\. Первый из них
приводит к члену х™+хх™~2 ... хт_х, показатели степени которого все еще расположены в убывающем порядке. Второй приводит к члену хт-іхтхт-з . . . х j, у которого показатели степени оказываются
неупорядоченными. Среди перестановок 2 &РР найдется такая пере-
р
становка, которая расположит показатели степеней в порядке их убывания, а именно транспозиция (12), изменяющая знак, в результате чего мы получим — х'хх™-1х™~3 .. . х v Этот результат можно сформулировать следующим образом: мы добавим одну точку ко второй строке, затем одну точку — к первой и поменяем знак. При /, = 3 мы нашли бы
v*пх-ь2 vm — 2 пх — I пх^
л1 л 2 ... _ р л 2 л3 ... лт_ р
лJ Л2 Л3 л4 ... Лт_J.
Отбирая из перестановок 2 &РР те. которые располагают показатели
р
степени в порядке убывания, получаем
•V* пх "f-2 « пх “2 у __________________ у пх -f-І у пх -* I v* /л “3 у
2 * * * Л/я-Р Л1 2 3 * * * m —I*
ут vm —4 у*
Л1 2 Л3 4 * * * т —I*
Эти три результата соответствуют следующим возможностям:
а) размещению трех точек в первой строке,
б) размещению одной точки во второй строке и двух точек в первой строке,
в) размещению по одной точке в каждой из первых трех строк. Тот же метод применяют и при /, > 3. Мы видим, что если совокупность, состоящую из 1Х точек, размещают на нечетном числе строк, то знак не меняется (четное размещение), но если точки размещены на четном числе строк, то знак меняется (нечетное размещение). Этот результат становится еще более наглядным, если отбросить общий множитель лг,т-1 .. . х v после чего указанным нами трем возможным случаям будут соответствовать выражения л:3, — х^х,^
Можно сказать, что точки мы размещали следующим образом: добавляли точки к любой строке до тех пор, пока число точек не стало больше числа точек на предыдущей строке на единицу, затем перешли к предыдущей строке и повторили всю процедуру и т. д. После того как все точки добавлены, должен получиться граф
242
Глава 7. Симметрическая группа
допустимого вида. Знак будет плюсом (минусом), если число соответствующих строк нечетное (четное).
Рассмотрим теперь любой последующий этап в процессе умножения. Предположим, что после добавления точек для /ь /2, ... МЫ пришли к характерному (допустимому) результату:
Если этот результат относится к числу допустимых, то должно выполняться неравенство Vi^-V2^- ••• ^-vm. Если теперь мы будем умно-
будет учесть действие умножения на xrq. Если какие-нибудь два показателя становятся равными, то результат равен нулю. Предположим, что
Найдется и соответствующий член, в котором переменные Х1..........хт
расположены в естественном порядке, его знак определяется числом переменных хр, ..., xq, показатели которых изменились: плюс (минус) в том случае, если (q— р) нечетно (четно). Таким членом, выписанным в новом порядке, будет член
На языке графов можно сказать, что мы.добавляли точки к q-Vi строке до тех пор, пока число их не стало на единицу больше числа точек
рили ту же процедуру с предыдущей строкой и т. д., убедившись в том, что окончательным результатом размещения всех г точек является правильный граф. Этот процесс называется правильным размещением г точек. Общее правило состоит в следующем.
Чтобы найти характер в представлении (>,) класса (/), имеющего ци^лы длины 1\, 1<і......строим граф разбиения (X) с помощью по-
жать на sr = 2 xrjt что соответствует циклу длины г, то необходимо
vp_! + 0 — р-\- 1) > v9 + (m — q)-\-r > vp-\-(m — р).
В этом случае мы получаем результат ±
-1 т-р + 1 т-р
... хп ; хп р-1 р
у +p—q+r »> -*-1 v
в предыдущей строке (т. е. х\ перешел в л:^7-і + і), а затем повто-
§ 4. Графический метод нахождения характеров
243
В качестве первого примера найдем j]. Прежде всего начертим
следовагельных правильных размещений точек, число которых равно llt 12 и т. д. Характер равен числу способов, которыми можно по* строить граф, содержащий четное число отрицательных размещений минус число способов, при которых граф содержит нечетное число отрицательных размещений.
ana Tjattnovf \ . .
\7, 13)'
граф разбиения (З, 1):
[=PD (7.42)
Выполним правильные размещения 2, 1 и 1 точек. Эти операции можно проделывать в любом порядке. Разместим, например, сначала две точки (обозначим их символом 1), затем одну точку (2) и еще одну точку (3). Две точки можно расположить двумя способами:
