Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
элемента rs, rs мы получим
(| - |г) UfSt rs - UrS3 rs (|г - !„) = Ers< (7.97)
а из рассмотрения элемента rs, sr следует
(і - lr) urst sr - urst sr &s ~ lsr) = 0. (7.98)
Подставляя соотношения (7.87), находим
°rs’rs= t-2tr + lrs ' (7’99)
Grs, sr=0’ еСЛИ I — lr~ І5+І5Л + °- (7.100)
Воспользуемся теперь соотношением (7.76). Уменьшим в на 1, тогда
l~lr = K~r. (7.Ю1)
Для представлений типа 1 (г = s) нам необходимо знать \г — \ГГ.
В D,T величина %г уменьшается на 2, так что
lr-lrr = K-l -Г а„,„=1. (7.102)
При г Ф s
b-bs = K~s, (7.103)
поэтому для представлений типа 2
0„ ^ 0„. ~_г = ~ °sr, sr- (7.104)
Заметим, что
l-lr=ls~lsn
в результате чего условие (7.100) выполняется автоматически. Наконец, для представлений типа 3, для которых s = r — 1, hr_l = Xr, мы находим из (7.104):
o„,„ = -l. (7.105)
Матрица U (п— 1, п) очень проста. Из (7.102) вытекает, что ее подматрица (гг, гг) — единичная; из (7.105) следует, что диагональные элементы подматриц (rs, rs) типа 3 равны —1. Согласно (7.104), в случае подматриц (rs, rs) типа 2 диагональные элементы равны единице, деленной на целое число, а диагональные элементы подматриц (sr, sr) отличаются от диагональных элементов подматриц (rs, rs) лишь знаком. Все эти элементы стоят на диагонали матрицы (7.82). Из условия унитарности (7.89) видим, что в случае типа 2 мы получаем внедиагональную подматрицу, кратную единичной матрице,
U = ± V1 — а2 Е Е , (7.106)
rs, sr У rst rs rst sr rs, sr- rs, sr* 4 '
262
Глава 7. Симметрическая группа
¦5іЛ5| < 1. Выбор знака в (7.106) произволен, его можно изменить на противоположный трансформированием клеточно-диагональной матрицей, у которой диагональные элементы в подматрице (rs, rs) равны —1, а остальные диагональные
элементы равны -(-1. Мы выбираем знак Определим целое число
= K-K + s-r, (7.107)
urs, rs
так что
Vfs «-1
= —--------------------------• (7Л08)
lrs, rs
Матрица U содержит, таким образом, на главной диагонали лишь рациональные числа; вне диагонали могут стоять квадратные корни j/Ч® —1. Поскольку матрица U унитарна и вещественна, то
UU =Е, но для транспозиции U2 = E, так что U = U, и матрица оказывается симметричной
ars,sr = °sr,rs- (7109)
Целое ЧИСЛО 1!St rs~T,rs — Xr — Xss — г имеет простой геометрический смысл. На схеме Юнга мы движемся из квадрата г, делая шаги по горизонтали и вертикали до тех пор, пока не достигнем квадрата s\ irs есть полное число сделанных шагов. Шаги считаются положительными, если их делают влево или вниз, и отрицательными, если их делают вправо или вверх. Величина irs называется аксиальным расстоянием от г до 5. При заданном п число irs будет максимальным, если Я-г = п—1, Я,2 = 1 или Я-г = 2, %х= = 1. В этом случае тrs = п— 1.
Пользуясь матрицей U(п— 1, п) и матрицами (7.82) для элементов Sn_lt мы можем с помощью умножения найти матрицы, отвечающие элементам группы Sn. Весь процесс можно повторить для транспозиции (п—2, п—1) и элементов Sn_2 и получить по индукции следующий результат.
Все матрицы неприводимых представлений группы Sn можно построить с помощью вещественных чисел. Диагональные элементы рациональны, внедиагональные элементы содержат квадратные корни из целых чисел, не превышающих п2—2п.
В этом процессе последовательной редукции матриц группы Sn мы исходим из данного разбиения и удаляем один узел. Эту процедуру мы повторяем до тех пор, пока вся схема не оказывается
исчерпанной. Рассмотрим схему
??? ,7 ,, Пч
?? (7Л1°)
?
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы Sn
263
Предположим, что мы удалили один узел из третьей строки, так что г — 3; после этого мы получим матрицу Dn соответствующую разбиению
??? ??
Если теперь мы удалим один узел из первой строки, так что $=1, мы получим матрицу Drs, соответствующую схеме
?? ??
Удаляя далее один узел из второй строки (t = 2), мы получаем матрицу Drst, соответствующую схеме
??
?
Если теперь мы удалим по очереди один узел из строки 1 и строки 2, то получатся схемы
О П ? ’U
Ясно, что подматрица Drstuv, которую мы получаем на последнем этапе, содержит одну строку и один столбец. В силу самого метода построения базисная функция, соответствующая этой строке (столбцу), обладает тем свойством, что является базисным вектором неприводимого представления (321) группы 56, представления (3, 2) группы S5, представления (22) группы S4, представления (2, 1) группы S3, представления (I2) группы S2 и представления (1) группы S{. Эту базисную функцию ф можно обозначать, указывая те строки, из которых по очереди отброшены узлы. В нашем случае ее можно было бы обозначить ф[3, 1, 2, 1, 2, 1]. Последовательность
[З, 1. 2, 1, 2, 1]
называется символом Яманучи (К-символом). Следует заметить, что существует простая связь между символами Яманучи и стандартными таблицами Юнга. В нашем примере мы сначала удалили узел из строки 3. Был удален символ 6, после чего у нас осталась группа S5. Затем мы удалили один символ из строки 1 и получили группу S4. Ясно, что этим символом был символ 5. Таким образом, наша первоначальная таблица имела вид
