Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, например, что нам требуется найти размерность неприводимого представления группы S4, соответствующего разбиению
§ 3. Графические методы
237
(А) = (2, I2). В этом случае мы должны увеличить показатель степени переменной Xj на 2, а показатели степени х2 и лг3 — на 1. Иначе говоря, мы должны прийти к выражению х2х2х3, умножая каждый раз только на один из л:-ов и следя все время за тем, чтобы величин хх было больше, чем х2 и х3, и т. д. Это можно проделать следующими способами:
лг^д:2лгз = д:1лг1лг2д:з, х1х2х3ху (7.34)
Эти упорядоченные расположения неизвестных носят название решеточных перестановок выражения лг^лг2д:3. Существует три таких перестановки, поэтому размерность представления, соответствующего разбиению (2, Г2), равна 3. Будем теперь вместо хх говорить „точки в первой строке11, вместо х2 —„точки во второй строке" и т. д. В результате мы хотим получить некоторый граф с двумя точками в первой строке (л:2) и одной точкой во второй и третьей строках (Х2Х3), причем число точек увеличивается каждый раз на единицу и так, что на любом этапе построения в каждой строке точек не меньше, чем в последующих строках (такие графы называются правильными графами). Наглядно граф, который мы хотим получить, можно изобразить так:
• • ??
. или ? (7.35)
?
Разбиение (2, I2)
(во второй схеме вместо точек использованы квадраты). Размещая объекты (точки или квадраты) по одному на схеме и убеждаясь каждый раз в том, что число объектов в первой строке больше числа объектов во второй строке или равно ему и т. д. (т. е. убеждаясь в том, что граф правилен на каждом этапе построения), мы получаем в результате все точки (или квадраты) графа. Такая процедура называется правильным размещением {узлов, точек, квадратов). В нашем примере, если объекты нумеровать в порядке их появления на графе, мы получим следующие возможные случаи:
(7.36)
1 2 1 3 1 4
СО <м <м
4 4 со
По сути дела, графы (7.36) означают то же, что и выражения (7.34): первый граф означает, что берется „первая строка, первая строка, вторая строка, третья строка", т. е. х1х1х2х3 и т. д.
238
Глава 7. Симметрическая группа
С помощью той же процедуры мы можем найти размерности всех неприводимых представлений группы S4. Каждому разбиению числа 4 соответствует некоторый граф:
(4): ????
(З, 1): ???
?
(22):
]?
]?
(I4):
(7.37)
(2, I2):
??
Возможные способы построения этих графов с помощью правильного, размещения отдельных узлов сводятся к следующим:
(4): ШЕЕН п = 1,
(3, 1): шиш ШИН НИИ п — 3,
0 Е И
(22): шн ШИ п — 2,
ШИ ЕИ
(2, I2): ШИ ШШ ШИ п = 3,
Е Е И
0 0 GD
(I4): Ш п= 1.
и
ш
ш
Результаты, приведенные в (7.38), указывают на внутреннюю связь между сопряженными, или ассоциированными, разбиениями, т. е. такими двумя разбиениями, которые получаются друг из друга заме* пой строк на столбцы: например, (4) и (І4), (З, 1) и (2, I2). С другой стороны, разбиение (22) является самосопряженным, при замене строк столбцами оно преобразуется в себя. Из (7.38) мы видим, что размерности представлений, соответствующих сопряженным разбиениям, равны.
§ 3. Графические методы
239
В качестве другого примера найдем размерность представления группы S7, соответствующего разбиению (4, 2, 1):
1234 1235 1236 1237 1236 1237
(1) 56 (3) 46 (5) 45 (7) 45 (6) 47 (8) 46
7 7 7 6 5 5
1234 1235 1245 1245 1246 1247
(2) 57 (4) 47 (9) 36 (10) 37 (11) 35 (13) 35
6 6 7 6 7 6
1246 1247 1256 1257 1267 1256
(12) 37 (14) 36 (15) 34 (17) 34 (19) 34 (16)37
5 5 7 6 5 4
1257 1267 1345 1345 1346 1347
(18)36 (20) 35 (21) 26 (22) 27 (23) 25 (25) 25
4 4 7 6 7 6
1346 1347 1356 1357 1367
(24) 27 (26) 26 (27) 24 (29) 24 (31) 24
5 5 7 6 5
1356 1357 1367 1456 1457
(28) 27 (30)26 (32) 25 (33) 27 (34) 26
4 1467 4 4 3 3
(35) 25 3 п = = 35 (7.
Задача. Постройте схемы, аналогичные схемам (7.38) и (7.39), для всех представлений группы S5.
Таблицы (7.39) служат примером таблиц Юнга—графов заданной формы (определяемой разбиением), в разных клетках которых размещены числа от 1 до п. Если клетки заполнены в соответствии с нашим правилом правильного размещения, то таблица называется стандартной таблицей. Число стандартных таблиц в точности равно размерности представления. Стандартные таблицы можно определенным образом упорядочить, выписывая все числа подряд, т. е. рыписцвая сначала первую строку, затем вторую и т. д., а потом
240
Глава 7. Симметрическая группа
располагая записанные так таблицы в порядке, обратном лексикографическому: например, таблица
1367
25 -> 1367254
4
будет идти после таблицы
1367
24 —> 1367245.
5
Позднее мы еще вернемся к стандартным таблицам и покажем, каким образом они позволяют нам строить базисные функции для неприводимых представлений.
§ 4. Графический метод нахождения характеров
Тот же графический метод, которым мы пользовались для нахождения размерности неприводимых представлений, можно применять и для вычисления характеров. Мы снова будем исходить из равенства (7.24). Чтобы найти характер мы должны вычислить коэффициент при
