Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 79

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 180 >> Следующая

для любой перестановки R, оставляющей без изменения последний символ п. Например, в разбиении, указанном в (7.54), любая перестановка первых 18 символов имеет матрицу представления
D (R) = D, (R) + D3 (Я) + D4 (Я) + D5 (R),
(7.78)
где, например, Di есть матрица, в представлении, характеризуемом разбиением (5, 42, З, 1). Представление можно выбрать так, чтобы матрица D(R) имела клеточно-диагональный вид, причем на главной диагонали будут стоять матрицы Dr. Индекс г позволяет нумеровать набор строк (столбцов), в которых стоит матрица DT
)П 3
(7.79)
Для тех элементов R, которые оставляют без изменения два символа п — 1 и я и, следовательно, принадлежат <S„_2, матрица D,
’) Yamanouchl, Phys. Math. Soc. Japan, 19, 436 (1937).
258
Глава 7. Симметрическая группа
распадается дальше [см. (7.53)] на сумму представлений Dr ветствующих правильным разбиениям
(^1*
(^.....а.,-1,
соот-
¦ . Ю-
(7.80)
Неприводимые представления, получающиеся при этом, бывают трех типов:
1) Drr(lr ^Xr+l-\-2) встречается один раз,
2) Drs=Dsr встречается дважды, если Хг— 1 ^Хг+1 и — 1 ~^>XS+1,
нет; это происходит в том случае, если
3) Drs встречается, a D„ s = r — 1 и ХГ_1=ХГ.
Например, рассмотрим еще раз разбиение, указанное в (7.54). Для перестановок R, оставляющих на месте последние два символа, получаем
D = Dn D,з -|- Du DK -f- D31 -f- D32 D34 D35 Dn -\-
D45-\-D5l-\-D53D54-\-D55. (7.81)
(Заметим, что матрица D32 типа 2.) Для таких перестановок мы разбиваем г на rs, и матрица имеет вид
3
4
(7.82)
Матрицы любой перестановки в группе Sn_2 имеют вид (7.82); пунктиром показаны матрицы (7.79), отвечающие элементам группы S„_j. В (7.82) мы снова выбрали базис так, чтобы представить матрицу в клеточно-диагональном виде.
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы S„
259
Теперь мы хотим построить матрицу представления тех элементов R группы S п, которые не содержатся в 5„_,, т. е. таких элементов, которые переставляют последний символ п. Для этого нам потребуется лишь матрица транспозиции (п—1, п), которую мы обозначим через U, ибо
(/, п) = {п—1, п){1, п— 1)(я — 1, п). (7.83)
Транспозиция (/, п— 1) принадлежит группе поэтому ее
матрица известна. Зная матрицу U, мы можем построить матрицу для любой транспозиции (/, п), а следовательно, и матрицу для любой перестановки. Матрица V произвольной перестановки из группы Sn_2 имеет вид, показанный в (7.82):
Vrs,Pq = Vrs,rsbrs,Pr (7-84)
Поскольку транспозиция (п — 1, п) коммутирует со всеми элементами группы S„_0, то
VU = UV (7.85)
или
^rs, rs^rs, pq == Urs, pq^pq, pq (7 ^6)
для всех элементов- группы Sn_2. Матрицы VrSi rs и Vpq pq служат неприводимыми представлениями группы Sn_2, которые эквивалентны лишь при pq = rs или pq = sr. Следовательно, по лемме Шура, Urs, pq = 0, за исключением случая, когда pq = rs или pq = sr и
^rs, rs = ®rs, rs^rs, rs’ Urs, sr = sr^rs, sr’ (7.87)
где Elm< pq — единичная матрица, стоящая на пересечении /m-строк и р^-столбцов в (7.82), а величины а — константы.
Если потребовать, чтобы представление было унитарным, то из вида матрицы U можно усмотреть, что если rs имеет тип 1 или 3, то
к„„|2=1, (7 88)
а если rs имеет тип 2, то
K.„l2+l<Wl2=l- (7-89)
Чтобы найти матрицу U транспозиции (п—1, п), нам необходимо знать лишь константы а. Их можно найти следующим образом.
Ранее мы показали [см. (3.168) — (3.170)], что если просуммировать матрицы неприводимого представления по всем элементам класса К, то получится матрица, кратная единичной:
пк%кЕ
260
Глава 7, Симметрическая группа
где Е— единичная матрица, пк — число элементов в классе К, —
характер этого класса и — размерность представления. Применим
этот результат к классу транспозиций. Для группы Sn
І и ал = ¦" = (7.91)
‘<J °
где | — величина, определенная соотношением (7.68) и вычисленная в (7.76). Точно так же, если рассмотреть неприводимые представления D, группы Sn_1 и Drs группы Sn_2, то получим
2 и[г) 07) = ІА. 2 v{,s)(ij) = IrAv (7-92)
і<1 1<J
где Er и Ers — единичные матрицы представлений Dr и Drs, а и определяются так же, как и |. Из (7.91), (7.92) мы находим, что матрица
St/(/a)= ^U(iJ)— %U(tJ) = An (7.93)
і-I l<] Kj
клеточно-диагональна, причем на ее диагонали [см. (7.79)] стоят подматрицы
(& — &,)?„. (7.93а)
Повторяя эту процедуру и используя оба выражения (7.92), получим, что матрица
Я-2
2?/(/, Я-1) = ЛЯ_, (7.94)
і — і
также клеточно-диагональна, причем на ее диагонали [см. (7.82)] стоят подматрицы
(lr-lrs)Ers,rs. (7.94а)
Умножив (7.93) на U (п—1, п), мы получим
Л-1
Ап U (п — 1, п) = 2 U n)U (п — 1, п) =¦
п- 2
— 2^ (Л ft) г/(л — 1, п)-\-Е. (7.95)
і-1
Но
л-2
2 U (/, n)U (п — 1, п) =
і -1
п-2
— U{n — 1, ft)
U (ft — 1, ft) 2 U (Л n)U (п — 1, ft)
і-1
л -2
= U(n— 1, ft) 2^(Л и —1) = ?/(и —1, «Мя-l. (7.95а) <-і
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы S„
261
следовательно,
AnU (п—1, п)—U(n — 1, п)Ап_1 = Е. (7.96)
Возьмем теперь из этого равенства матричный элемент (pq, rs) и воспользуемся соотношениями (7.93а) и (7.94а). Из рассмотрения
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed