Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичным образом мы можем привести функцию г]) к нормальной антисимметричной форме (Л-форме)
г])({ 1 ... [![} {(J.] -|- 1.M-і Ч~ ^г} • • •)¦ (7-122а)
принадлежащей антисимметрии типа
Л (М-i Ч~ ^2 Ч~ ••• —I- М-г)- (7.123а)
Следует подчеркнуть, что к заданной функции г]з мы можем применять любой из двух процессов. Иначе говоря, любая данная собственная функция принадлежит какому-то определенному типу симметрии 5 (Я,] -|- ... -|- Хт) и какому-то определенному типу антисимметрии A (jLij -|- ... -j- |іг). Если мы сделаем предположения о том, что иного вырождения, кроме того, которое происходит из-за эквивалентности частиц, нет, то вырожденные (эквивалентные) собственные функции должны обладать одним и тем же 5-типом или Л-типом. Любую собственную функцию, принадлежащую данному собственному значению, можно представить в виде линейной комбинации базисных функций
определенного 5-типа либо Л-типа. (В сущности, к этому сводится
сделанное нами ранее утверждение о том, что вырожденные функции
278
Глава 7. Симметрическая группа
образуют базис некоторого неприводимого представления группы симметрии.)
Докажем теперь несколько простых теорем о симметризации.
Лемма. Если собственная функция
ф({1 2 ... 1} [Я.+ 1.......X + |i]...) (7.124)
антисимметрична по частицам 1, 2, ..., А, и симметрична по частицам Я, —|— 1, Я, —|— 2..Я, —|— (J- (характер ее зависимости от осталь-
ных частиц не принимается во внимание), то, выполнив перестановку частиц 1, 2...Я, —|— (J- и составив линейные комбинации,
мы можем построить одну из функций (но не обе)
Ф ({1 2 ... X, А,1} [А, -|- 2...А, ji] ...),
Х({1 2 ... Я, — 1} [Я.. А,+ 1.A,+ |i] ...). (7Л25)
Для построения ф нам необходимо лишь произвести перестановку частиц 1,2, .... А,, А, —|— 1. Для построения х нам необходимо лишь произвести перестановку частиц А,, А, —|— 1......А,-1-І1-
Доказательство. Будем вместо 1, 2, ..., А, писать а, р, ... и вместо А, —|— 1.....писать л:, у, .... Оператор
е — 2 (ах)•
а = 1
(7.126)
будучи применен к ф, дает нам функцию, антисимметричную по 1, 2, ..., А-, лг. Чтобы доказать это, применим все транспозиции указанных символов к функции
е — 2 (ал:)
а — 1
Тогда
(PY)
Так как
е — 2 (ах)
а= 1
Ф = (PY) Ге — (рлг) — (ух) — 2 (ал:)] ф. L J
(PY) (Ра:) = (Ya:) (Py) и (Py) Ф = — Ф.
имеем
е — (Ра:) — (ya:)
2 (ах) I ф :
а ф (1 у
= [е — 2 (ajc)j (PY) Ф = — [е — 2 (ajc)j ф.
§ 8. Метод Хунда
279
Точно так же, поскольку
(рл:) (ах) = (ах) (ар),
получаем (Рх)
к
— 2 (ах) а = І
Ф = (Р*) [е — (Рлг) — 2^ (ах) j ф =
= [(Р*) — е — а2р(а*)(еф)] ф.
Таким образом,
(Рл:) — 2 (aA:)j ф =
= [— е + (рл:)] ф — ^ 2р (ajc)j (ар) ф = — р — 2 (а*)] Ф-
Может случиться, что при данном выборе л: функция
р — 2 (ал:)] Ф
тождественно равна нулю. Покажем теперь, что если мы будем выбирать л: различными способами (т. е. л: = А,-|-1............к ji), то либо
все получающиеся при этом функции обратятся в нуль, либо ни одна из них в нуль не обратится. Действительно, если при некотором л: функция
[2 е — 2 (а*)] Ф = о,
то, применяя транспозицию (-vy), мы получим О = (ху) \е — 2 (ctJf)J ф =
= ( лгу) [е — 2 (a*)j (ху) (ху) ф =
= (*У) \е — 2 (aA:)j (ху) ф = \е — 2 (ay)j ф
при любом у.
Точно так же, применяя к ф оператор
A. + fi
2 (ах)
(7.127)
мы получим функцию, симметричную по а, Я, —|— 1, Я, —|— pt. С по*
мощью процедуры, аналогичной той, которой мы пользовались, пок^г жем, что либо все функции
е +- 2 (ах) ф
Хч-1+l
280
Глава 7 Симметрическая группа
тождественно равны нулю, либо ни одна из них не равна тождественно нулю (а=1, А,).
Далее покажем, что два типа функций, получающиеся при действии на ф операторов (7.126) и (7.127), не могут одновременно быть равными тождественно нулю. Действительно, если
^е — 2 (ах) J ф = о
при всех л: и
[е + 2(а*)]Ф = 0
при всех а, то, суммируя первую функцию по л:, а вторую по а и складывая, мы получили бы, что (А, |i) ф = 0, откуда следовало бы,
что первоначальная функция ф была тождественно равна нулю.
Наконец, покажем, что обе формы не могут существовать одновременно— одна из них должна быть тождественно равной нулю. Действительно, в противном случае функцию
Х({12 ... А, — 1} [А,, А, —|— 1.....А, —|— ^х] ...)
можно представить в виде линейной комбинации функций, получающихся из
Ф ({1 2 ••• А,, А, —|— 1} [А, —|— 2.А, —|— jj,] ...)
применением перестановок Р (действующих на символы 1, . .., A,-|-|i) и взятием линейных комбинаций, т. е.
% ({1 2 ... А, — 1} [А*, А,—|- 1, ..., А,—|- JJ-] ...) =
= 2аРЯф({1 2 ... А,, А, —|— 1} [А- —|— 2....А,+ ц] ...). (7.128)
р
Но тогда ясно, что по крайней мере два символа из числа символов А,, А, —|— 1...Я, —|— (J-, заключенных в квадратные скобки в левой
части (7.128), должны попасть внутрь фигурных скобок в правой части того же равенства после того, как перестановку Р применят к ф. Иначе говоря, каждый член в сумме стоящей в правой
р
части, антисимметричен по крайней мере по двум символам из числа
А,, А, —|— 1...А, —{— JLX. Применим теперь симметризатор, действующий
