Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
на частицы А,, А, —(— 1.....А, —|— pt, к обеим частям равенства (7.128).
Слева мы получим п\%, а справа — нуль.
Применяя эту лемму, мы сможем переходить от 5-форм к Л-фор-мам, и наоборот. Предположим, например, что у нас имеется некая нормальная 5-форма ф ([123] [45]). Так как эго нормальная 5-форма, то она должна быть антисимметричной при перестановке частиц 4 (или же 5) и по крайней мере одной из частиц 1, 2, 3. Поэтому мы
§ 8. Метод Хунда
281
можем антисимметризовать ее, например, по частицам 5 и 3, и получить ф( [12] 4 {35}). Поскольку наша исходная функция ф была симметричной по частицам 1, 2, 3 и 4, 5, мы не можем проводить антисимметризацию более чем по двум частицам, по одной частице из каждой пары квадратных скобок в 5-форме). По лемме мы можем получить:
1) ф([1 2 4] {3 5}) или 2) ф(1 {2 4} {3 5}).
Если бы первая альтернатива была возможной, то, воспользовавшись еще раз леммой, мы смогли бы получить:
а) ф( [1 2 3 4] 5) или б) ф( [1 2] {3 4 5}).
Случай „а“ невозможен, поскольку из исходной 5-формы следует, что мы не можем проводить симметризацию более чем по трем частицам, а случай „6“ невозможен, поскольку из исходной 5-формы следует, что мы не можем проводить антисимметризацию более чем по двум частицам. Таким образом, из симметрии типа 5(3-|-2) мы можем образовать с помощью перестановок и линейных комбинаций только антисимметрию типа А(2 —|— 2 —|— 1). Заметим, что эти разбиения сопряжены. Прежде чем применять этот результат, докажем следующую теорему:
Теорема. Нормальную 5-форму типа ф( [1 2 ... r)[r-\- 1.....2 г))
можно привести к ^4-форме ф((1#} (2 Ь) ... (гї}), где а, Ь, .... s взяты из множества /¦ —|— 1.....2г.
Так как мы исходим из 5-формы, функция должна быть антисимметричной при перестановке символа 1 и какого-то символа из второй пары квадратных скобок, вследствие чего мы можем образовать функцию
ф = ({1я} [2 ... ,-][/¦+ 1....2 г]).
Попытаемся продолжить этот процесс антисимметризации по двум частицам, беря по одному символу из первых квадратных скобок и • по одному — из вторых. Предположим, что, выбрав р пар, мы обнаружили, что не можем продолжать этот процесс дальше. Это означает, что функция симметрична по 2г — 2р символам, остающимся в скобках. На этом этапе мы имеем
ф({1а} [2Ь) ... [рр)[...]).
Применяя нашу лемму к члену, стоящему в квадратных скобках, и к каждому члену в фигурных скобках по очереди, мы увидим, что можем из каждой пары фигурных скобок брать по одному символу и возвращать его обратно в квадратные скобки. Но тогда мы получим
282
Глава 7. Симметрическая группа
функцию ф, симметричную по 2 г — 2pJtrp = 2r— р символам. За исключением того случая, когда р = г, т. е. когда ф превращается в функцию
ф({1а} \2Ь) ... {/-5}),
это противоречит нашему предположению о том, что мы исходим из 5-формы. Заметим, что если мы переставим две группы частиц, то у ф появится множитель (—1)г.
Наш предыдущий результат о переходе от 5-формы к Л-форме можно обобщить. Функцию типа
(^iЧ~^2Ч~ ¦ ¦ ¦) = S(X)
можно с помощью перестановок и линейных комбинаций превратить в функцию типа
^(м-іН— м-2Н- • ¦ ^ (мО.
где разбиения (А,) и (|i) сопряжены. Суть доказательства содержится
в нашем предыдущем примере. Чтобы пояснить это доказательство, приведем второй пример. Возьмем за исходную нормальную форму ф( [1 2 3 4 5] [6 7 8] 9). Действуя на частицы справа, мы обнаружим, что наша лемма позволяет нам образовать лишь функцию ф([1 2 3 4 5] [6 7] {8 9}). Применим теперь лемму к [1 2 3 4 5] и {8 9}.
Мы не можем образовать [1 2 3 4 5 8] 9, так как это нарушило бы
нормальность формы, поэтому выводим один символ из квадратных скобок и получаем
ф( [ 1 2 3 4] [6 7] {5 8 9}).
Мы видим, что произвели антисимметризацию по множеству, состоящему из символов, взятых по одному из каждой пары квадратных скобок нашей исходной нормальной 5-формы, поэтому вводить еще какие-нибудь символы в {5 8 9} мы не можем. Оставив член в фигурных скобках, мы повторим весь процесс, оперируя над членами [1 2 3 4] [6 7]. До сих пор мы переставляли лишь 5, 8, 9. Если бы мы могли образовать [1 2 3 4 6] 7, то, применяя перестановку, обратную по отношению к нашей предыдущей операции над 5, 8, 9, мы получили бы результат, противоречащий нормальности нашей формы. Следовательно, мы снова берем по одному символу из каждой пары квадратных скобок и получаем
ф ([1 2 3] 6 {4 7} {5 8 9}).
Тот же процесс мы повторяем и с членом [1 2 3] 6 и получаем, наконец,
ф(1 2 {3 6} {4 7} {5 8 9}),
так что
5 (5_|_ з _|_ 1) _> А (3 + 2 + 2 + 1 + 1).
§ 9. Групповая алгебра
283
Ясно, что нормальные формы 5 (А,) являются базисными функциями неприводимого представления (А,). Тип симметрии любой заданной функции определяется заданием либо ее S-нормальной формы 5(А,), либо заданием ее Л-нормальной формы A (|i), где (А,) и (|i) — сопряженные разбиения. Говорят, что функции ф и ф имеют взаимно обратный, или сопряженный, тип симметрии, если их 5-формы (либо Л-формы) соответствуют сопряженным разбиениям.
Задача. Докажите, что члены с различными типами симметрии не комбинируются, т. е. если г|з и ф обладают различными типами симметрии и функция / симметрична по всем частицам, то
