Физика композитных сверхпроводников - Гуревич А.Вл.
Скачать (прямая ссылка):
теоретическое исследование гистерезисных потерь, возникающих при
одновременном изменении транспортного тока и внешнего магнитного поля,
содержится в работах [94,104 _ 106].
Всюду выше предполагалось, что плотность критического тока jc не зависит
от В. Такое приближение оправдано, если величина /с мало меняется по
объему образца в интервале В0 - Вт < В < В0 + Вт. Эти условия можно
записать так:
УС
э/с / э в
Обычно для выполнения неравенства (3.64) достаточно, чтобы магнитное поле
В о было достаточно велико: В0> В т, Вр. Если это не так, то приближение
/с = const, строго говоря, пригодно лишь для оценки величины
гистерезисных потерь.
76
Вт, В,
Р
(3.64)
§ 3.3. Потери в композитных сверхпроводниках (а <€ R)
В этом параграфе подробно изучены потери в проводе из скрученного
многожильного композитного сверхпроводника, находящегося в поперечном
внешнем магнитном поле. Рассмотрен случай, когда толщина насыщенной зоны
я(/) < R, а транспортный ток равен нулю. При вычислениях используется
модель критического состояния Бина, т.е. предполагается, что djc/dB = 0
Условие a(t) < R позволяет в явном виде найти распределения тока,
электрического и магнитного полей и получить аналитические выражения для
расчета потерь [74, 75].
При ''макроскопическом" описании электродинамики многожильных композитных
сверхпроводников (см. § 2.3) необходимо вычислить их магнитную
проницаемость д [76, 77, 107]. Отличие д от единицы связано С замкнутыми
диамагнитными токами, которые наводятся в сверхпроводящих жилках. Однако,
как правило, для амплитуды изменения внешнего магнитного поля выполняется
условие Вт > До/с^о (положим, для оценки, у'с = 3-109 А/м2, г о = 1(Г5 м,
тогда д0 j с го ~ 0,04 Тл). В этом случае замкнутые точки, текущие в
жилках, практически не сказываются на распределении ''макроскопической"
индукции (см. рис. 3.2) и магнитная проницаемость композита д 1 [76, 92].
Ниже, для простоты, рассмотрена ситуация, когда Вт > До/'с'о, т.е. д = 1.
Расчет потерь при В <С д vfcr0 содержится в работах [92,107 - 110].
''Макроскопическая" электропроводность композитных сверхпроводников,
связывающая между собой ''макроскопические" плотности тока у и
электрическое поле Е, существенно анизотропна. Ее продольная (вдоль
жилок) компонента Оц гораздо больше, чем поперечная - Oj ~ о". Величина
Оц , вообще говоря, является функцией напряженности электрического поля,
для у < js ее значение найдено ниже. Однако, как будет видно из
дальнейшего, потери не зависят от Оц, если Оц > oL. Это позволяет
упростить все расчеты, положив Оц = const > oj [74].
Пусть, для начала, скорость изменения внешнего магнитного поля Ва
мала настолько, что насыщенная зона отсутствует. При этом дВ/Э/ = Ва во
всем объеме композита. Выберем оси координат так, как показано на рис.
3.3. Тогда для определения электрического поля Е имеем уравнение
Максвелла:
Для того чтобы найти потенциал электрического поля х > представим
плотность тока у в виде
rot Е = -ехВа.
Решение (3.65) будем искать в виде Е = -ezr %\ъуВа + V X-
(3.65)
(3.66)
у = 0||?|| + olEl = (о|| - Oi)E\\ + oiE и воспользуемся уравнением
непрерывности div у = 0, откуда:
(3.67)
(3.68)
77
Здесь Е\\ и Е\ - продольная (вдоль жилок) и поперечная компоненты вектора
Е. Подставив (3.66) в (3.68), получим
АХ = div^i. (3.69)
Для дальнейшего необходимо определить связь между электрическим полем =
е|| (с|| Е) и потенциалом X- Единичный вектор Сц , направленный по
касательной к сверхпроводящим жилкам, можно представить в виде
е\\ = е2 cos у>0 + sin <д, , (3.70)
где ip0 - угол наклона жилок к плоскости поперечного сечения
провода,
a tg ipo = 2-nr/Lp < 1. Так как в силу симметрии задачи
величина х не за-
висит от z, то из (3.66), (3.70) находим
/ sin "А, Э х
----------------r sm </> cos "А) Ва\"и (3.71)
\ г Э /
и, следовательно,
sin2<p" Э2х
div Е\\ =----------------- sin у>0 cosipo sin уВа. (3.72)
г Э|р
Подставим (3.72) в (3.69) и воспользуемся тем, что с точностью до
(2itR/Lp)2 < 1 включительно sin<p0 ~ 2irr/Lp, cos у>0 *= 1. В результате
для определения х в основном по Oj /оц < 1 приближении справедливо
уравнение
1 9 / ЭХ\ / 1 1 \ 92Х 27тг о и ,
( г- ) + ( г-н -^ )--Г----------------------Ва cos у;, (3.73)
/• ъг \ а г ) \гг i2 /э J lp ох
где
Ll Oj.
= ¦ (3-74>
4 77 2 О
На поверхности провода плотность тока j г = о± Ег обращается в нуль,
отсюда находим граничное условие к (3.73) :
9 X
а г
= 0. (3.75)
г - R
Кроме того, потенциал х (r, v) не имеет особенности при г = 0.
Решение уравнения (3.73), удовлетворяющее перечисленным условиям, имеет
вид
Ер • Ер - 1\(у/It}
Х~~~ ~ г cos if Ва + -- I, cos tp Ва 7ГГГ77Т • (3-76)
2 77 2 77 Л(Л//,)
В (3.76) штрих означает дифференцирование по r/lt, а 1Х - функция
Бес-
78
селя второго рода [111]. С помощью (3.71) можно теперь найти
электрическое поле Е || :
h (г/lt)
Et = -ел1,Ва sin , • (3.77)
м(K/lt)
При характерных значениях параметров, входящих в lt, как будет видно из
