Физика композитных сверхпроводников - Гуревич А.Вл.
Скачать (прямая ссылка):
равенство В =Ва. Это необходимо учесть при расчете электрического поля
EL. Пусть, для простоты, глубина скин-слоя в нормальном металле матрицы
5CK>R, т.е. характерное время изменения внешнего магнитного поля tq
удовлетворяет условию tq > fj()oLR2 [17]. Положим, для оценок, = 5 • 109
Ом"1 - м"1, R = КГ3 м, тогда n0oLR2 - 10"3 с. При 5СК > R во внутренней
области композита электрическое поле Е ~ Еу удовлетворяет уравнению
Максвелла:
rotrot?i = 0. (3.97)
6. А.Вл. Гуревич
81
Решение (3.97) естественно представить в виде, аналогичном (3.83):
2nr 1
sinyez , (3.98)
Lv
El = -/(0-1*-
2n
Lp
где /(f) - подлежащая определению функция времени. С помощью уравнения
Максвелла roti? = -В находим, что
f(t)=Bx, г (3.99)
Таким образом, выражение (3.98) _ является обобщением зависимости (3.83)
на случай Ва >Bt, когда В ФВа. При Ва < В,, как следует из сравнения
(3.83) и (3.98),/(f) -Ва.
Так как /(f) =ВХ, то для определения /(f) проще всего воспользоваться
соотношениями, связывающими компоненты By и В,, вне и внутри композита.
Продифференцировав (3.35) по времени, получим
By = (~Ba+C/r2) sinv?, (3.100)
В,. = (Ва + С/г2 ) COS (/:,
а с помощью (3.99) находим, что
By = -Bxsm<p = -/(f) sin
Br = Bxcos<p=f(t)cosy, r<Rt(^). (3.101)
Внутри композита, в основном приближении по a(t)/R <€ 1, величина В,. не
зависит от г (см. § 3.2). Тогда B, (R) = (Ва + C/R2) cos<^> =/(f) cos^j,
откуда
C=[f(t)-Ba] R2. (3.102)
Подставив соотношение (3.102) в (3.100), получим, что By (R) = [-2Ва + +
/(f) ] sin </>, a By (R) -By(Rt) =2 [/(f) -Ва] simp. Отличие разности By
(R) - By (R,) от нуля обусловлено наличием поверхностного тока Jz.
Продифференцировав (3.36) по времени, находим, что
2[/(0-^al sin<p = n0jz. (3.103)
Для определения поверхностного тока J воспользуемся уравнением
непрерывности div/=0. Из него следует, что суммарный ток, пересекающий
диаметр поперечного сечения провода, равен нулю (см. § 3.1 и рис. 3.3).
Таким образом,
R. R R R
fjydr^S L dr + f oL(e EL) dr ^ Jy + f oL (eyEL) dr = 0, (3.104)
О Й, о 0
откуда в основном приближении по a{t)/R <€ 1 с помощью (3.98) получаем
RL"
Jy = -/(f) aL sin si?. (3.105)
2rr
В насыщенной зоне ток течет, в основном, вдоль сверхпроводящих жилок,
поэтому
L / L \2
Jz = Jy = -/(f) o± fJ sin if. (3.106)
2rrR *
82
Подставив (3.106) в (3.103), находим уравнение для/(г) в виде
Tohf=Ba. (3.107)
Определим максимальный размер насыщенной зоны как a(t) = = |/z|///|siny>|
(см. §3.1). Тогда с помощью (3.106) получим, что a(t) и/(0 связаны
соотношением
4 т0 |/(01
д(0=----------- R. (3.108)
П Вр
При Ва >0, как следует из (3.107),/(г) >0иа(/) = 4r0Rf{t)/пВг. Подставив
это выражение в (3.107), находим уравнение дляа(/), совпадающее с (3.25),
найденным из качественных соображений, если положить у =0,5. Решение
(3.107) имеет вид
/(')= - /Дл^ехр/^-1-^ dt'. (3.109)
То О \ То /
Пусть, например, внешнее магнитное поле изменяется на величину В," за
время tq < т0, при этомВа{t)можно представить какBa(t) = В,п6(? - tq).
Тогда из (3.109) следует, что с точностью до tq/T0 < 1
Вт
/(0 =-------------- ехр
т0
fi)
Подставив зто выражение в (3.98), получим
2ттт0 L L
р
]exp(i)
BmLp\ 2 nr
/I = -От - ех +-- S\nipez I expl- - ). (3.110)
Из (3.110) видно, что т0 является характерным временем затухания
поперечных токов, наведенных в матрице скрученного многожильного
композита.
Зная Е±, можно найти среднюю удельную мощность потерь в нормальном
металле QL. В основном приближении по a/R -4 1 и 2nR/Lp <g 1 она равна
" , .
, 1 2гг "|(|Р) / I \ 2 9 f*(t\
Qi=-^fd'Pf o1Elrdr=aLl-^-\ f2(t) = -5----------------------. (3.111)
nR О о \ 2n / До
Отметим, что если Ва <В,, то, как следует из (3.107),/(г) " ?0 и
выражение (3.111) совпадаете (3.84).
Во внутренней области композита (г < R, (</>)) каждая из сверхпроводящих
жилок находится в переменном магнитном поле, причем В =exf(t).
Следовательно, в них возникают гистерезисные потери Обозначим их среднюю
удельную мощность как Q,,. В# представляющем наибольший интерес случае,
когда В §> д0/гт0, величину Qh можно рассчитать с помощью выражения
(3.52). В результате имеем
2 Вр г0
Qh = - 1/0)1 - • (3.112)
3 д0Я
В насыщенной и переходной зонах также ворникают потери. Однако при a(t)
<R величина их, как показано в § 3.1, отнЬсительно мала.
6* 63
Рис. 3.9. Зависимость ??*(>) в скрученном композите при Вт1Вр = 0,2: 1 -
экспоненциальный импульс (Q* = HoQ/Bm- у = рт0 ) ; 2 - периодический
сигнал (Q* ~ V"QJ4B?tp
У- w")
Таким образом, суммарная величина средней удельной мощности потерь в
скрученном композите равна
• 2 То _ 2/?,, Tq
е=-г (г)+-zr~ - i/(oi.
(3.113)
до Зд0 R
Второе слагаемое в формуле (3.113) вносит заметный вклад.лишь при малых
скоростях изменения внешнего магнитного поля. В этом случае №<*ва и Qh >,
Gi, если Ва < Bpru/3T0R¦ При характерных значениях параметров
гистерезисные потери оказьшаются существенными, когда Ва ^ 1 Тл/с.
Пусть внешнее магнитное поле меняется по экспоненциальному закону (3.27),
