Физика композитных сверхпроводников - Гуревич А.Вл.
Скачать (прямая ссылка):
= Вр в обоих случаях показана штриховой линией
Величина Qh, как следует из выражений (3.5), не зависит от скорости
изменения внешнего магнитного поля Ва. Такие потери принято называть
гистерезистными.
Они возникают в тех случаях, когда мощность тепловыделения Q<^ Е. В
модели критического состояния величина Q всегда пропорциональна
напряженности электрического поля Е, поскольку Q =jE -jcE.
Зависимость плотности потерь Q от Ва в жестких сверхпроводниках
обусловлена разогревом образца и наличием резистивной компоненты
плотности тока j"(E)
(см. (1.28), (1.47)). С учетом jn{E) мощность джоулева тепловыделения Q
равна jcE + /" (Е) Е. Так как /" /,, то относительная величина по-
терь, зависящих от Ва, пропорциональна отношению /, Цс < 1. При
характерных значениях параметров она не превышает нескольких процентов.
Подчеркнем, что приведенные рассуждения справедливы для любой зависимости
jc (В, Т) и произвольной геометрии задачи.
Таким образом, в тех случаях, когда разогрев образца мал, потери в
жестких сверхпроводниках (с точностью до отношения /1 //с < 1) являются
гистерезисными, т.е. не зависящими от скорости изменения внешнего
магнитного поля.
Характер поведения функции Qh(Bm, Вр) определяется соотношениями между Вт
иВр. Так, величина Qh Вт при2?т <Bpv.Qh =" Вт приВт >Вр. Кроме того, в
области Вт ^ Вр с уменьшением плотности критического тока /с потери
растут, а в области В", > Вр - падают. Зависимость Qh {Вт), рассчитанная
с помощью выражений (3.5), изображена на рис. 3.1 в логарифмических
координатах.
Физически гистерезисные потери являются потерями на перемагничи-вание.
Это означает, что величина Qh зависит от магнитной предыстории образца,
т.е. от исходного распределения магнитного поля. Так, например, если Ва
увеличивается от значения Ва = В(, до Ва = В" + Вт, то
Qh = Вт/бцо Вр (в,п < Вр).
При последуюшем же уменьшении Ва от Ва = В0 + Вт до Ва = В" Q" =
В3т12ЛЦоВр (Вт<Вр).
Рассмотрим теперь ситуацию, когда внешнее магнитное поле изменяется
периодически. Она является типичной для многих экспериментов, в которых
исследуются гистерезисные потери в жестких сверхпроводниках. Пусть,
например, Ва меняется от значения Ва = Ви - Вт до Ва = В0 + Вт. Тогда,
действуя аналогично предыдущему, можно найти следующее выра-
61
жение для плотности потерь за период изменения внешнего магнитного поля:
2 Bl
Вщ ^ Вр,
Qi,
з ц0вр
2 В
JP
Мо
(вт - J Вр), ВП1>В".
(3.6)
т ир'
Сопоставление формул (3.5) и (3.6) показывает, что зависимости Qh (Вт,
Вр) при монотонном и периодическом изменении В'а (t) отличаются лишь
числом. Столь простое соотношение между выражениями для
Ыс
удельных потерь (3.5) и (3.6) возникает, если = 0. При произвольной
Э В
зависимости плотности критического тока /с от В можно лишь утверждать,
что потери в случае периодического изменения внешнего магнитного поля с
амплитудой Вт и в случае монотонного увеличения Ва от Ва до В0 + Вт
одного порядка.
Для плоскопараллельной пластинки выражения для Qh и Qh имеют достаточно
простой вид и при произвольной зависимости jc от В. Обсудим зто несколько
более подробно. Среднюю удельную мощность потерь
1 ьг
Qh = - / icE dx
2Ь -ь
удобно, воспользовавшись уравнением Максвелла ЭД/Эх = ±д0/?, (Д) (см.
(3.1)), переписать в виде
Qh= ~ fEdB. (3.7)
Интегрирование в формуле (3.7) идет по области х > 0. Для определения В
(В) преобразуем второе из уравнений (3.1):
. а/:' ае ъв ы;
Эх ъв Эх ав
Из соотношения (3.8) находим:
ЭЕ В
= ±-------------. (3.9)
ЭВ fipjc (В)
С другой стороны, как следует из уравнений Максвелла, распределение
магнитного поля в пластинке определяется формулой:
в° dB
b~x=f ----------------. (3.10)
в ii{)jc (В)
Продифференцировав (3.10) по времени, получаем:
(3.11) /с (В ) ic (Ва )
Подставив (3.11) в (3.9), находим для определения электрического поля 62
В Ва
?(В) уравнение
Ва
ЭЕ__ ___________
ЪВ д о/с (Ва)
откуда
Е=±
В"
[В-В(11)].
(3.12)
До /с СВа )
С помощью (3.12) и (3.7) для средней удельной мощности потерь легко
получить окончательное выражение:
(Ва - в (/, ))2 Ва
Qh
2 Ьц1/С (Ва )
(3.13)
Определим теперь, воспользовавшись соотношением (3.13), величину Qh,
например, в случае, когда внешнее магнитное поле за время tq монотонно
увеличивается от В0 до В0 + Вт. Тогда в"+вт tB_B fdB
/ , АВ<В", (3.14)
в0 2bn20jc (В) р
в0+вР(В-В0)2с1В в>п + в,[В B(0)]2dB
/ : + f ~;,.L >дв>вр.
(3.15)
Qh = f Qh dt
О
в0 2йДо/с {В) вр + в" 2buljc(B)
где В(0) =В \х= 0.
Выражения (3.13) - (3.15) позволяют проанализировать влияние зависимости
jc (В) на величину гистерезисрых потерь. Так, например, если ]c<s В~х, то
для АВ < Вр, как следует из (3.14), Qh -*> В%,.
Гистерезисные потери возникают и при изменении текущего по жесткому
сверхпроводнику транспортного тока. Для плоскопараллельной пластинки,
находящейся во внешнем продольном магнитном поле, рассчитать их
сравнительно несложно. Результат такого расчета зависит от
последовательности изменения тока и магнитного поля. Из всего
