Физика композитных сверхпроводников - Гуревич А.Вл.
Скачать (прямая ссылка):
(if) в виде
R - Ri(if) = a(t) [ sin уз I, (3.38)
где толщина слоя, находящегося в критическом состоянии, равна 2 АВ
a(t) = -------. (3.39)
Mo ic
Таким образом, R - Rt (if) < R, если а < R или АВ < д0/CR ~~ Вр.
Найдем плотность гистерезисных потерь Qh при монотонном изменении Ва от В
о до В о + Вт , когда В", < Вр, т.е. a(t) < R. В этом случае
электрическое поле Е = E(r, if)ez отлично от нуля в области R, (if) < г
</?. В основном приближении по a/R < 1 распределения Вр (г, if) и E(r,
if) описываются системой уравнений (-п < ip < я)
Э
-- (гВ у) + В0 sin if = -До Пс sign if, (3.40)
a г
ъе ъв^
- = -. (3.41)
ъг a t
В (3.40) учтено, что внутри провода В, = В0 cos if. Проинтегрировав
(3.40) 70
" по г, и воспользовавшись непрерывностью By при г = R, находим, с
точностью до a/R 1 включительно:
By = -В0 sin р - 2 АВ sin р+ na(R - r)jc sign p =
= -B0 sin p - ц0(г R,)jc sign <p, (3.42)
откуда By = -2 Bu sin p. Зная By, можно с помощью (3.41) определить
электрическое поле Е ( г, р), удовлетворяющее граничному условию E(Rl)=0:
Е = 2(Я, - r)Ba sin р. (3.43)
Средняя удельная мощность гистерезисных потерь Qh тогда равна
1 2п R 32 АВ* Ва
/ dp / drrjcE = ; . (3.44)
- ОЛ ' n
nR о *,(rt 3nB° BuicR
Проинтегрировав зто выражение по времени, имеем
32 В?" 1
<2"=- - . (3.45)
9 я До UoJcR
Отметим, что для Вт <С Вр гистерезисные потери в плоском слое (3.5) и в
цилиндре (3.45) зависят от jc, В", и размера образца одинаковым образом.
Однако при Ъ = R множитель в (3.5) примерно в семь раз меньше, чем в
(3.45). Физически это связано с тем, что цилиндр сильно искажает
магнитное поле в окружающем пространстве. Так, например, если р = 0, то
разность В (R) - Во в два раза больше величины Ва - В0.
При периодическом изменении Ba(t) с амплитудой Вт гистерезисные потери
для случая a( t) <С R можно найти аналогично предыдущему [92].
В момент времени, когда АВ (/) = Вт , максимальный размер области,
находящейся в критическом состоянии, равен ат = 2Вт / д0/<- ¦ При
последующем уменьшении внешнего магнитного поля вблизи поверхности
провода появляется слой, в котором ток изменил направление на
противоположное. Граница его R2(р) описывается уравнением R2 (р) = = R -
а(г) | sinч51, где
В," А В
a(t) = . (3.46)
Во h
Таким образом, во внешней (R > г > R - a(?)l sin| ) и во внутренней (/? -
a(r)| sin^ I > г > R - а,г, | sinipl ) областях насыщенной зоны токи
текут во взаимно противоположных направлениях. При этом электрическое
поле отлично от нуля лишь во внешнем слое:
Е= -(г - R2) Ва sin р,
(3.47)
R-R2 < г < R.
71
В результате выражение для плотности гистерезисных потерь за период
изменения Ba(t) имеет вид
128 Вът 1
& (3.48)
9 л До iioJcR
Пусть теперь В," > Вр. Если АВ (?) > Вр, то в критическом состоянии
находится весь образец. При'этом граница раздела между областями,
отличающимися направлением тока, проходит в плоскости его поперечного
сечения по диаметру (см. рис. 3.5,в), а / (г ) = ez jc sign у. Зная /(г
), распределение магнитного поля можно определить с помощью закона Био и
Савара [81]:
В(х.у) =
Цо,с г ___,еЛУ-у')-еу(х-х')
(х-х'У НУ-у')
Ваек+-- fdx dy sign у -3---- -- (3.49)
Интегрирование в (3.49) идет по поперечному сечению сверхпроводника, а
ех, еу - единичные векторы, направленные вдоль осей х и у соответственно.
Из (3.49), в частности, следует, что на оси провода (х = у = 0) магнитное
поле В (0) = Ва - (2 д0/7r)jcR. Так как по определению Ва -В (0) = = Вр,
то для цилиндра в поперечном магнитном поле
2
Bp=~n0jcR¦ (3.50)
Из (3.49) следует, что dB/dt = дВа j'dt во всем пространстве. Тогда
исходя из уравнения (3.41), с учетом граничного условия ?Чг=о = 0,
находим
Е(г, у) = - ezBar sin у. (3.51)
В результате получаем, что при АВ > Вр средняя удельная мощность
гистерезисных потерь имеет вид:
4 . 2 Вр Ва
Qh = - icBaR = -Г (3-52)
Зп Зд0
Если Вт > Вр, то вкладом в потери, возникающим в те моменты, когда АВ <
Вр, можно пренебречь. Тогда, проинтегрировав (3.52) по времени, получаем
выражение для Qh в случаях:
4 2В", В"
Qn = -icRBm = ------------ {В," > Вр) (3.53)
Зтт Здо
- монотонно,
16 НВт Вр
Q" = --icRB-m = - р (в,,, > вр) (3.54)
Зп Зд0
- периодически изменяющегося внешнего магнитного поля [92]. 72
При произвольном соотношении между Вт и Вр найти величину гисте-резисных
потерь в проводе, находящемся в поперечном поле удается лишь численно [99
- 102]. Используя результаты этих расчетов и выражения для Qh в
предельных случаях Вт < Вр (Qh ~ Вэт/Вр) и Вт > Вр {Qh ВтВр), можно из
тех или иных соображений выбрать функцию, аппроксимирующую Q,,(B/n ) во
всем интервале значений Вт/Вр. При монотонном изменении Ba(t) простейшей
непрерывной (вместе с первой производной) степенной аппроксимацией
является
При периодическом изменении Ba{t) зависимость плотности гистерезис-ных
потерь за период от Вт остается той же, а величина их возрастает в четыре
раза. Выражение (3.55) позволяет рассчитывать Qh(Bm) с точностью до
