Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
также множества ограниченных периодических движений, а компьютерные
расчеты дают основание считать, что имеются также ограниченные
непериодические решения. В данном разделе мы сначала обсудим некоторые из
многочисленных семейств периодических орбит для отображения /, а затем
продемонстрируем существование некоторого сложного множества, подковы
Смейла (Smale [1963, 1967]), которое будет подробно изучено в главе 5.
Как и в первых трех разделах данной главы, мы закончим рассмотрением
некоторых численных результатов, иллюстрирующих типичное поведение
данного отображения.
Заметим сначала, что если а < 1, то, в отличие от гамильтонова случая,
рассмотренного Пустыльниковым, все орбиты остаются ограниченными. Из
формул (2.4.4) мы получаем
\vj+1| = |avj - 7cos(<f>j + Vj) < a\vj\ + 7, (2.4.7)
так что из неравенства \ vj\ > 7/(1 - а) следует, что |z/j+i| < \vj\ -
Поэтому все орбиты входят в полосу, ограниченную прямыми vj = ±7/(1 - а),
а затем остаются в ней. Мы имеем здесь пример области захвата для
дискретной динамической системы.
Важным является второе наблюдение. Уравнение (2.4.4) инвариантно
относительно замены координат ф ->¦ ф + 2шг, п = ±1, ±2, . .., что
свидетельствует о возможности выбора в качестве фазового пространства
цилиндра S1 х R, получаемого при взятии ф по модулю 27г. При переходе к
обсуждаемой механической задаче следует помнить, что время полета ф^+\ -
фj определено лишь по модулю 27т (см. Holmes [1982а]).
140
Глава 2
Область захвата является компактным подмножеством цилиндра:
D = |(</>, и) | и\ < е + Q } С S1 х К, и, подобно предыдущему примеру, мы
имеем притягивающее множество
А = П Г(Л).
(Мы включили величину s для того, чтобы превратить D в замкнутое
множество.)
При поиске неподвижных точек /, т. е. таких точек для кото-
рых ф(ф1Т') = {ф,и), ввиду периодичности, получаем следующие пары точек:
(фп,йп) = ^arccos^ ----------j, 2тгп^, п = 0, ±1, ±2, . .., ±N,
(2.4.8)
где JV - наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
2Ntt(1 -а) <7. (2.4.9)
Устойчивость этих неподвижных точек определяется линеаризованным
отображением Df вида (2.4.6). Как было показано в главе 1, если оба
собственных значения лежат внутри единичного круга на комплексной
плоскости (|Aj| < 1), мы имеем сток, если одно из них лежит вне, а другое
внутри круга (|Ai| < 1 < |Аг |), имеем седло, а если оба лежат вне круга,
то источник. Заметим, что поскольку Ai • А2 = det(Df) = а, то при а < 1
получаются только стоки и седла, а при а = 1 - центры и седла.
Из формулы (2.4.6) находим такие выражения для собственных значений:
М,2 = |{(l+a+7r)±y/(l + a + 7r)2 -4а}, г = sin(0"+XX"). (2.4.10)
Подставив значения (фп, Vn) из (2.4.8), определим, что те неподвижные
точки, для которых фп < 7г (sin(</>ra + Vn) > 0), являются седловыми. Те
точки, для которых фп > 7г (sin(</>ra +Vn) < 0), являются стоками
(центрами) при условии
2гг7г(1 - а) < 7 < 2л/п27г2(1 - а)2 + (1 + а)2
(2.4.11)
2.4. Динамика подскакивающего мяча
141
и седловыми точками при условии
7 > 2у/н27г2(1 - а)2 + (1 + а)2. (2.4.12)
Заметим, что седла в случае фп < -к являются седлами первого рода:
соответствующие линейные отображения имеют положительные собственные
значения 0 < Ai < 1 < А2, а в случае фп > -к - седлами второго рода с
отрицательными собственными значениями Ai < - 1 < А2 < 0. Орбиты,
приближающиеся к седлам второго рода и удаляющиеся от них, имеют
осциллирующий характер; такие неподвижные точки называют также
отражающими гиперболическими (см. Bemoussou [1977]).
Значения
7п = 2п7г(1 - а)1 у'п = 2у/п27г2(1 - а)2 + (1 + а)2 (2.4.13)
являются бифуркационными, первое из них соответствует рождению пары
неподвижных точек при бифуркации "седло-узел", второе - смене
устойчивости и бифуркации удвоения периода. Такие локальные бифуркации
отображений изучаются в главе 3. При помощи представленных там методов
или путем непосредственных вычислений можно показать, что для значений 7
> у'п вблизи точки (фп > тг, Vn) существует периодическая орбита периода
2. Пока 7 остается близким к у'п, эта орбита устойчива, а затем она
испытывает повторную бифуркацию удвоения периода, в результате чего
рождается орбита периода 4. Этот процесс продолжается и сходится к
некоторой точке 7", в которой существуют орбиты периодов 2к для всех к.
Как мы отмечали в разделе 2.2, такие счетные последовательности
бифуркаций удвоения периода вначале изучались для одномерных отображений,
для которых удалось достигнуть полной ясности (см. Feigenbaum [1978],
Collet, Eckmami [1980] и раздел 6.8 ниже).
На рис. 2.4.1 изображена бифуркационная диаграмма для первых шести
(включая п = 0) этих семейств неподвижных точек. Показаны также
устойчивые движения периода 2 и примерный вид физических движений
подскакивающего шара, отвечающих некоторым из этих орбит.
Вместо того чтобы продолжать обсуждение орбит с последовательно
увеличивающимися периодами, построение которых быстро становится
практически невозможным, мы приведем одно соображение, моментально
