Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что для малых значений 7 ((а), (Ь)) орбита остается вблизи
семейства п = 1, а для больших значений она покидает эту группу и
блуждает в некоторой ограниченной области фазового цилиндра, вплоть до
выхода на некоторую устойчивую периодическую орбиту (с), или блуждает без
видимой стабилизации (d). В случае (с) потребовалось 500 итераций, прежде
чем выяснилось асимптотическое поведение, в случае (d) были вычислены
5000 итераций. (Заметим, что орбиты в случаях (с) и (d) не соответствуют
физическим движениям мяча, так как скорость отскока v становится
отрицательной. В этом проявляется недостаток данной простой модели,
вытекающий из предположения (2.4.2).)
Рис. 2.4.6 иллюстрирует необходимое (но не достаточное) условие такого
блуждания. Здесь показаны части границы области притяжения стока
Рис. 2.4.5. Орбиты ./", 7, а = 0,8. Символом (c) обозначены начальные
условия, А- асимптотический предел орбиты. Движение периода 2 при п - 1
возникает для 7 яз 3,813022. (а) 7 = 3; (Ь) 7 = 4; (с) 7 = 5; (d) 7 = 10:
никакого периодического предела не появилось после 5 000 итераций.
2.4. Динамика подскакивающего мяча
ф ф
Рис. 2.4.6. Устойчивое и неустойчивое многообразия седловой точки при п =
1. Сток при п = 1 обозначен через Д, а = 0,8. (а) у = 2; (Ь) у = 3; (с) 7
= 3,28: первое касание, (d) 3,5: трансверсальные гомоклинические орбиты.
2.4. Динамика подскакивающего мяча
151
периода 1 из семейства п = 1, образованные устойчивыми многообразиями
соответствующей седловой точки. Конечные отрезки этих многообразий легко
вычислить путем итераций короткого интервала, направленного в
соответствии с устойчивым собственным вектором линеаризованного
отображения (2.4.6), содержащим седловую точку, при помощи обратного
отображения (2.4.5). Подобным образом можно найти неустойчивое
многообразие, применяя к неустойчивому собственному вектору итерации
(2.4.4). При наличии трансверсального пересечения устойчивого и
неустойчивого многообразий, как на рис. 2.4.6(d), очень сложно
предсказать асимптотическое поведение орбиты без знания начальных условий
с чрезвычайной точностью, так как любые две орбиты, начинающиеся по
разные стороны устойчивого многообразия, в конце концов расходятся с
экспоненциальной скоростью. Принудительное закручивание этого
многообразия приводит к усложнению границ областей притяжения, которые
включают бесконечно много длинных тонких языков, лежащих вблизи других
притягивающих орбит. Мы вновь сталкиваемся с чувствительной зависимостью
от начальных условий, несмотря на то, что простые аттракторы
(периодические орбиты) притягивают в конце концов почти все решения.
Тем не менее, в обсуждаемой задаче, как и в примерах Дуффинга и Лоренца,
по-видимому, существуют большие множества значений параметров, для
которых орбиты никогда не сходятся к периодическим аттракторам. На рис.
2.4.7(a) показана такая орбита, которая не проявляет никакого видимого
асимптотического поведения после 60 ООО итераций. Заметим, однако, что
эта орбита демонстрирует замечательную глобальную структуру: она выглядит
как множество кривых, как и в примере Дуффинга (рис. 2.2.8). Увеличение
фрагментов фазового пространства наводит на мысль, что, как и в работе
Нёпоп [1976], это множество неограничено (рис. 2.4.7(b)), а является
локально произведением некоторой гладкой кривой и канторова множества.
Это в точности совпадает со структурой замыкания неустойчивых
многообразий подковы. (Локально, это просто множество Л?° С Q.) На рис.
2.4.7(c) показана часть неустойчивого многообразия седловой точки (ф, и)
= (7г/2,0). Из сравнения с рис. 2.4.7(a) ясно, что орбита по виду
стремится к данному многообразию или лежит на нем. Действительно, если
взять в данном случае (а = 0,5, у = 10) ограниченное множество D = = {ф,
v | v\ < 87г}, то из уравнения (2.4.7) можно установить, что farl(D)
содержится в D, и притягивающее множество А можно определить как
пересечение всех прямых образов D:
ОО
A=\Jf2"(D), (2-4.14)
п=0
как и в примере Дуффинга. Вновь А оказывается замыканием всех устой-чивых
многообразий, см. рис. 2.4.7(c).
152
Глава 2
Рис. 2.4.7. "Странный аттрактор", (а) 60 ООО итераций точки вблизи (тт/2,
0); (Ь) увеличение части рисунка (а); (с) неустойчивое многообразие точки
(7г/2, 0).
2.5. Заключение. Мораль басни
153
Заметим, что данное притягивающее множество сосуществует с устойчивой
орбитой периода 2 из семейства п = 3, проходящей вблизи неподвижной точки
(ф,1у) = (arccos(67r(o: - 1)/7), б7г) (см. рис. 2.4.7(a)). Область
притяжения этого движения извивается в промежутках между компонентами
первого притягивающего множества. Такое поведение в основных чертах
аналогично осциллятору Дуффинга, имеющему два различных аттрактора для
одинаковых значений параметров (рис. 2.2.5(a)).
Эти наблюдения и сопутствующий краткий анализ (более подробное
рассмотрение предстоит в следующих главах) показывают, что в данной
физической проблеме мы можем ожидать появление продолжительных
