Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 2.3.4. Отображение Лоренца.
где I = а, а] обозначает интервал ветвления поверхности S. Здесь /
является отображением Пуанкаре для полупотока. Заметим, что время
возврата для разных решений не совпадает, оно стремится к бесконечности
по мере приближения к средней точке интервала I. Образ последней не
определен, так как стартующее в этой точке решение попадает в седловую
точку р и, следовательно, никогда не возвращается на ?. Из симметрии
потока следует,
2.3. Уравнения Лоренца
131
что / является нечетной функцией, график которой, с качественной точки
зрения, аналогичен представленному на рисунке 2.3.4. Заметим, что угловой
коэффициент f во всех точках больше единицы и отображение не имеет в I
неподвижных точек. Растягивающий характер отображения (/' > 1) описывает
наблюдаемое численно нарастание колебаний, а разрыв в точке у = О
отвечает переменам знака. Мы полагаем, что /(-0) = -/(+0) = a, f(a) = = -
f(-a) > 0 и что lim f'(0) = оо, хотя последнее соотношение в явном
х->0
виде использоваться не будет. Кроме того, для упрощения последующего
анализа допустим, что /2(-а ) < /(") и /2(а) > f{-a).
Как уже отмечалось, двумерное отображение Пуанкаре Р, определенное на
подходящем сечении Е, обратимо, так как оно возникает из глобально
определенного потока. Однако в процессе проектирования, аналогично
примеру Ван дер Поля, обратимость теряется, и спроектированное
отображение / уже не будет взаимно однозначным.
Подчеркнем, что геометрическая модель аттрактора Лоренца как одномерного
отображения не охватывает, очевидно, всех деталей действительного потока
на А. Боле того, расчеты, необходимые для подтверждения существования
расслоения, трансверсального листам аттрактора А и характеризующегося
равномерным сжатием, не проводились. Такое сжимающее расслоение
подразумевалось при реализации вышеупомянутого процесса проектирования. В
последующих главах мы рассмотрим некоторые проблемы, связанные с
проверкой, что геометрически построенные аттракторы, подобные данному,
действительно существуют в конкретных потоках. В оставшейся части данного
раздела, однако, мы будем изучать одномерное отображение / само по себе.
Далее мы будем называть это отображение ло-ренцевым, хотя оно и
отличается от одномерного отображения, полученного в Lorenz [1963].
Сначала заметим, что если / имеет периодическую орбиту периода к, то эта
орбита неустойчива, так как производная в произвольной ее точке р,
вычисленная по правилу дифференцирования сложной функции, имеет вид
к-1
(/*(р))'=П/'(/,'(р)), (2-3.5)
з=о
и данное произведение, очевидно, больше единицы, поскольку /' > 1 во всех
точках I. Несложно построить орбиты периодов два и три: полагая h = [-а,
0] и 12 = [0, а], будем иметь /(Д) = [/(-а), a] D 12 и f(I2) = = [-
а,/(а)] D 1\, откуда /2(/Д = I\ U I2 = I для г = 1,2. Аналогично, fk{Ii)
= I для всех к ^ 2. Таким образом, fk(Ii) 3 h, и fk имеет, по крайней
мере, две неподвижных точки для любого к. Отсюда немедленно следует, что
/ имеет орбиты, период которых равен любому простому числу. Однако, хотя
fk имеет неподвижную точку для любого к, ее наименьший
132
Глава 2
период может быть равен некоторому делителю к. В действительности, с
труктура множества периодических орбит зависит тонким образом от точного
вида отображения /, и мы не будем рассматривать ее далее. Вместо этого,
исследуем чувствительность данного отображения к выбору начальных
условий, что в данном случае сделать легче, нежели в примере Ван дер Поля
из раздела 2.1.
Как мы покажем в разделе 5.7, если во всех точках f > л/2, то любой
подынтервал J С I под действием / в конце концов расширится, так что для
некоторого п множество fn{J) содержит I (Williams [1976, 1979]). Таким
образом, все точки I неблуждающие. На самом деле, если f > 1, то любые
две различные точки х, у ? I имеют для некоторого п образы fn(x), fn(y)
по разные стороны от нуля (если только один из таких образов не попадет
точно в нуль, после чего орбита обрывается). Коль скоро точки разделяются
таким образом, их орбиты далее нельзя считать близкими, так как они ведут
себя, по существу, независимо. Такое расщепление орбит управляется,
очевидно, положениями прообразов нуля / /'(0). Поскольку отображение / 1
двузначно, по крайней мере, на части I, то число прообразов f~k(0) растет
как 2к до тех пор, пока точки не покинут I. На самом деле, из отмеченного
выше расширения следует, что множество всех прообразов |J f~k(0),
лежащих в I, несмотря на нулевую меру, плотно в I. Следуя Ruelle [1979],
мы назовем локальное растяжение и последующее "независимое" поведение
орбит, стартующих сколь угодно близко друг к другу, чувствительной
зависимостью от начальных условий.
Как было показано в разделе 2.1, хотя отображение Ван дер Поля и обладает
сложным хаотическим множеством, содержащим бесконечное число
периодических орбит, оно проявляет относительно простое асимптотическое
поведение в том смысле, что почти все орбиты сходятся к одной из двух
