Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что Р зависит от параметров 7, S, и>, но в дальнейшем мы будем
считать S и и> фиксированными положительными величинами, а у переменной и
записывать Р = Р7.
Очевидно, что Pq является в точности отображением вдоль потока за время
27гf lo для системы в отсутствие возбуждения (2.2.6), фазовые кривые
которой инвариантны относительно Pq. В частности, сепаратрисы седло-вой
точки (0, 0) для этого потока являются инвариантными многообразиями для
соответствующей седловой точки Pq. Выясним, что происходит с Р7 и,
следовательно, с потоком, при возрастании у от нуля. Сначала мы опишем
результаты численного решения и построенные на их основе отображения
Пуанкаре. Представленные результаты принадлежат Ueda [1981а] (ср. [
198lb]); дальнейшие результаты можно найти в Holmes [1979а].
Для малых значений у два стока системы (2.2.6) в точках (u,v) = = (±1, 0)
переходят в малые (О(у)) притягивающие орбиты периода 27г/и (период
единица для Р7), а седловая точка переходит в орбиту седлового типа.
Таким образом, Р7 продолжает иметь три гиперболических неподвижных точки.
При возрастании у амплитуды орбит, в частности, устойчивых, непрерывно
возрастают до тех пор, пока при некотором значении, зависящем от S и и,
произойдет бифуркация. Линеаризуя (2.2.6) в точках (±1, 0), получим, что
невозмущенная натуральная частота при <3 = 0 равна \р2. По мере удаления
от этих точек, периоды окружающих их орбит возрастают и стремятся к
бесконечности по мере приближения к двойному гомоклиниче-скому соединению
(рисунок 2.2.3(a)). Следовательно, осциллятор в окрестности точек (±1,0)
ведет себя подобно мягкой пружине (Nayfeh, Mook [1979]), и если и < л/2,
то имеет место скачок в резонанс, в результате которого малая орбита
периода 1 переходит в относительно большую орбиту того же периода (Holmes
[1979а]). Если и > л/2, и в частности и> и 2 л/2, может возникнуть
резонанс периода 2, в результате чего неподвижная точка отображения Р7
становится неустойчивой и испытывает бифуркацию удвоения периода, в
результате которой рождается устойчивая орбита пе-
2.2. Уравнение Дуффинеа
119
риода Atv/ui (Holmes, Holmes [1981]). Такие скачки и соответствующие им
бифуркации удвоения периода и "седло-узел" можно изучать при помощи
методов усреднения, представленных в главе 4.
-2 0 2 -2 0 2
Рис. 2.2.4. Орбиты уравнения Дуффинга 5 = 0,25, и) = 1,0, у = 0,30: (а)
две устойчивые (о) и одна седлового типа (X) периодические орбиты,
показывающих неподвижные точки (Ь) "странный аттрактор". Отметим, что
устойчивые периодические орбиты о близки к границе устойчивости.
Различные численные методы могут привести к неустойчивым орбитам.
На рисунке 2.2.4(a) изображена пара относительно больших орбит периода
единица (и = 1 < л/2) в проекции на плоскость и, v, дополняющие
соответствующие неподвижные точки отображения Р7. Если у продолжает
увеличиваться, могут произойти повторные бифуркации, в результате чего
такие периодические точки и соответствующие им периодические орбиты для
потока последовательно удваивают свои периоды. Эти бифуркации
накапливаются в некоторой точке, в которой происходит переход от
периодического движения к визуально хаотическому, непериодическому
движению, подобному представленному на рисунке 2.2.2. Такие каскады
бифуркаций удвоения периода являлись предметом обширных исследований, в
результате которых был обнаружен ряд интересных универсальных свойств
(Feigenbaym [1978, 1980], Coller, Eckmann [1980]). Мы обсудим некоторые
из этих работ в главах 5 и 6.
На рисунках 2.2.4(b) и 2.2.5(a) показаны типичные орбиты единственной
точки для отображения Пуанкаре в этом хаотическом режиме. Заметим, что
эти наблюдаемые численно "странные аттракторы" существуют
120
Глава 2
2
0
-2 0 2 -2 0 2
Рис. 2.2.5. Орбиты уравнения Дуффинга ш = 1,0, 7 = 0,30: (а)
сосуществование "странного аттрактора" и большой устойчивой орбиты
периода 1, <5 = 0,15; (Ь) устойчивая орбита периода 3,6 = 0,22;
самопересечение связано с проекцией на плоскость и, v.
для относительно широких областей значений параметров и могут
сосуществовать с простыми периодическими движениями. Кроме того, в узких
поясах внутри области "странного аттрактора" наблюдаются субгармонические
движения (см. рисунок 2.2.5(b) и Holmes [1979а, рисунок 7(e)], где
приведен пример орбиты периода 5). При существенно больших значениях у
вновь появляются периодические движения с большей амплитудой: рисунок
2.2.5(a).
Прежде чем предложить частичную интерпретацию и объяснение данных
наблюдений, заметим, что нерегулярная зависимость от времени, показанная
на рисунке 2.2.2, проявляет себя при взгляде на сечение Пуанкаре как
значительная структура (рисунки 2.2.4(b) и 2.2.5(a)) и что здесь
наблюдается отсутствие какой-либо периодичности, по крайней мере, на тех
интервалах времени, на которых производились наблюдения, как в
экспериментах с балкой. На рисунке 2.2.6 показаны спектры мощности для
двух таких движений, которые демонстрируют широкое частотное наполнение
