Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 42

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 199 >> Следующая

преобразования Фурье и(и) функции u(t). Отметим наличие пиков на частоте
возмущения и некоторых субгармониках.
Главный ключ в понимании этих результатов лежит в анализе инвариантных
многообразий седловой точки Р7 вблизи начала координат. Обозначим эту
точку р, а ее устойчивое и неустойчивое многообразия - Ws{p), Wu(p). Как
мы уже отмечали, Ws(p) и Wu(p) при 7 = 0 являются просто седловыми
сепаратрисами, подобными изображенным на рисунке 2.2.3(b)
1 1 1 а 'Л ' "S*5 1 V j*****:- \ nice.*-. % \ " У \ S и
V* t
2.2. Уравнение Дуффинеа
121
частота
Рис. 2.2.6. Спектры мощности для уравнения Дуффинга ш = 1,19, <5 = 0,06,
7 = = 0,46________, 7 = 0,57.... (из работы Холмса
[1979а]).
(см. рисунок 2.2.7(a)). Отображение Пуанкаре Ро имеет три гиперболические
неподвижные точки, и многообразия не пересекаются. Отсюда мы можем
немедленно заключить, что для малых 7 отображение Р1 топологически
эквивалентно Ро, так как последнее структурно устойчиво. Это
подтверждается и численными расчетами (рисунок 2.2.7(b)). При возрастании
7, однако, многообразия сначала касаются друг друга, а затем пересекаются
трансверсально: см. рисунок 2.2.7(c),(d) (а также рисунок 4.5.3(b), где
изображен квадратичный контакт). Части графиков Ws (р) и Wu(p),
показанные на рисунке 2.2.7, получены при помощи итераций нескольких
точек, лежащих на коротком отрезке Ws(p) (или Wu(p)) вблизи точки р, под
действием Р~г (или Р7). Такая глобальная бифуркация происходит в
дополнение к (и независимо от) обсужденным выше локальным бифуркациям
удвоения периода или скачка ("седло-узла") для неподвижных точек.
В главе 4 мы увидим, как определить местоположение таких глобальных
гомоклинических бифуркаций для систем типа (2.2.8) в случае, когда 7 и 6
малы, а система близка к интегрируемой гамильтоновой. В то же время, мы
сможем найти субгармонические движения, рождающиеся при бифуркации из
непрерывных семейств периодических орбит (рисунок 2.2.3(a)).
Коль скоро многообразия пересекаются, мы имеем трансверсальные
гомоклинические орбиты, и, как мы увидим в главе 5, из их наличия следует
существование сложного неблуждающего канторова множества, включающего
бесконечно много неустойчивых периодических орбит произвольно длинного
периода, а также ограниченные непериодические движения (см. также ниже
раздел 2.4.4). Кроме того, как показано в работах Newhouse [1979, 1980],
для определенных значений параметров, близких к тем, при
Рис. 2.2.7. Отображения Пуанкаре для уравнения Дуффинга (2.2.8), <5 =
0,25, и> = 1,0. (а) 7 = 0; (Ь) у = = 0,10; (с) 7 = 0,20; (d) 7 = 0,30.
Типичные орбиты показаны на (а), а притягивающее множество отмечено
жирной линией.
Глава 2
2.2. Уравнение Дуффинеа
123
которых имеют место гомоклинические касания, существуют бесконечные
множества устойчивых периодических орбит (называемых стоками Ньюха-уза).
Мы обсудим их в главе 6. Все эти сложные движения вносят вклад в
структуру притягивающего множества, к обсуждению которой мы теперь
переходим.
Как уже упоминалось, можно найти такой диск D cS, что P(tm)(D) С D для п >
0, и мы можем вновь определить замкнутое притягивающее множество как
Ах= Г\
гС^ О
Сравнивая построенные численно странные аттракторы с неустойчивым
многообразием седловой точки Wu(p), можно высказать гипотезу, что данное
множество Aj равно замыканию этого многообразия: см. рисунок 2.2.8.
Очевидно, Aj имеет нулевую площадь: поток системы (2.2.8) равномерно
сокращает объем, поскольку дивергенция векторного поля равна
Ж^ + Ж^и ~ и3 ~ Sv + ^созшв) + = ~6 < °> Ж2-9)
и, следовательно, det \DP7\ = е-27Г|5/ш <
Для малых у нашу гипотезу можно доказать, заметив, что все орбиты {Pj{y)}
для у € D приближаются к одному из стоков, за исключением таких точек х G
W&(p), которые приближаются к р. Следовательно, А1 содержит стоки и
седло. Чтобы показать, что все точки из А1 лежат в замыкании Wu(p),
рассмотрим произвольную кривую С, соединяющую некоторые точки х G Ws(p) и
у <= D (рисунок 2.2.7(a)). При п -> сю конечные точки кривой Рп(С)
приближаются к седлу и стоку, причем к стоку приближаются и остальные
точки С, за исключением произвольно близких к Рп(х). Таким образом, Рп(С)
приближается к некоторой компоненте Wu(p), что и утверждалось.
При наличии гомоклинических пересечений ситуация более сложна. Даже если
наша гипотеза верна, множество А1 может содержать строго притягивающие
подмножества, такие как стоки Ньюхауза. Что интересно, в данном примере,
в отличие от осциллятора Ван дер Поля, в некотором диапазоне значений
параметров отсутствуют короткопериодические стоки. Мы предполагаем, что
для каждого целого N < оо существует открытое множество значений
параметров 7, S, си, для которых Р7 не имеет притягивающих периодических
орбит периода меньше, чем N. Такие аттракторы нельзя эффективно наблюдать
даже для не слишком больших значений N, поскольку характерная ширина их
областей притяжения настолько мала (в некоторых случаях она имеет порядок
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed