Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
А = -(<т +/3 + 1) и А = ±гд/2а(а + 1)/(сг - /3 - 1).
(Следуя Лоренцу, мы полагаем <т > 1 + /3, так что мнимые корни возможны.)
При р > ph нетривиальные неподвижные точки являются седлами с двумерными
неустойчивыми многообразиями. Таким образом, при р > рн все три
неподвижных точки неустойчивы, однако притягивающее множество А = Р|
по-прежнему существует, хотя теперь А содержит более
t>o
сложные ограниченные решения. Мы вернемся к ним чуть позже.
Можно подумать, что бифуркация Хопфа, происходящая при переходе значения
р через ph, приводит к появлению устойчивых периодических орбит, но при
последующем анализе Марсдена и МакКракена [1976, глава 4] (см. также ниже
в главе 3) было показано, что эта бифуркация субкрити-ческая, т. е.
неустойчивые периодические орбиты стягиваются к стокам при стремлении р
снизу к ph, а при р > ph вблизи этих неподвижных точек замкнутых орбит не
существует. На физическом языке, стационарные проводящие ролики,
изображаемые симметричной парой нетривиальных решений, становятся
неустойчивыми и заменяются некоторым другим движением с большой
амплитудой. Опишем это движение, опираясь на оригинальную численную
работу Лоренца с последующим геометрическим анализом Guckenheimer,
Williams.
Рис. 2.3.1. Численное решение y(t) уравнения Лоренца (2.3.1), о = 10, р =
28, /3 = 8/3.
Лоренц полагал а = 10, /3 = 8/3, при этом ph " 24,74. Затем он
зафиксировал р = 28 и проинтегрировал численно систему (2.3.1) при
начальном условии, близком к седловой точке в начале координат. Типичная
зависимость такого решения y(t) от времени на интервале t G (0, 30) ре-
128
Глава 2
продуцирована из статьи Лоренца на рисунке 2.3Л. Аналогичные кривые
наблюдаются для x(t) и z(t), хотя последняя не изменяет знака. Отметим
рост амплитуды колебаний до некоторого кажущегося порога, после чего
происходит смена знака и дальнейший рост колебаний.
Лоренц обнаружил, что решения быстро приближаются, а затем движутся по
некоторой разветвленной поверхности S, построенной на рисунке 2.3.2 на
основе трехмерных численных решений, полученных Lanford [1977]. Границей
S является часть неустойчивого многообразия Wu(p) сед-ловой точки р =
(0,0,0). На рисунке 2.3.2 показаны первые 50 петель на одной "стороне",
поверхность заштрихована, и указаны ее ветви. Оставшиеся седла q± =
{±л//3{р - 1), ±у/(3(р - 1), р - 1) лежат в двух отверстиях на
поверхности S.
Для пояснения структуры данной разветвленной поверхности построим ее
схематично на рисунке 2.3.3, следуя Williams [1977]. При этом мы заменяем
истинный обратимый трехмерный поток на полупоток на S, в котором решения
определяются только для растущего времени, поскольку под действием потока
с обратным временем все решения рано или поздно попадут на интервал
разветвления [-а, а], после чего необходимо выбирать, по какой из ветвей
следовать далее. Таким образом, единственность решения задачи Коши
кажется нарушенной. Лоренц использовал данный факт как довод, указывающий
на наличие у данного притягивающего множества А, называемого теперь
аттрактором Лоренца, бесконечного множества листов, причем решения не
пересекают эти листы, а просто переходят с одного листа на другой по мере
циркуляции вдоль кажущейся ветви. В действительности, данная
разветвленная поверхность является артефактом, обусловленным быстрым
сжатием и вычислительными ошибками.
Мы обсудим топологическую структуру аттрактора А и его связь с
разветвленной поверхностью S в главах 5 и 6, здесь же мы представим
частичный анализ хаотического потока на А при помощи одномерного
отображения, по аналогии с примером Ван дер Поля. Вначале укажем, как
можно установить связь между истинным трехмерным потоком и полупотоком на
S.
Как уже упоминалось, численные расчеты показывают, что все решения рано
или поздно попадают в сколь угодно малую окрестность S, после чего они
будут многократно проходить вблизи интервала ветвления [-а, а] ? S. Более
точно, все решения рано или поздно пересекут трансверсально некоторое
двумерное сечение ? в окрестности [-а, а]. Таким образом, на ? можно
определить двумерное обратимое отображение Пуанкаре, как в Guckenheimer
[1976]. (Удобное сечение можно получить, вырезая полоску из плоскости z =
р - 1 (рисунок 2.3.2) таким образом, что -Р(?) С У, и, следовательно,
пересечение А с плоскостью z = р - 1 лежит в У.) Проектируя орбиты
отображения Р в направлении, тансверсальном
2.3. Уравнения Лоренца
129
г
Рис. 2.3.2. Численное решение уравнения Лоренца, о - 10, (3 = 8/3, р =
28. Начальные условия выбраны произвольно близко к седлу в р(0, 0, 0),
поэтому решение аппроксимирует Wu(p), определяя границу кажущейся
поверхности S. По работе Ланфорда [1977]. См. описание Е и т. д. в
тексте.
к S, получим эквивалентное одномерное отображение первого возврата
130
Глава 2
а) b)
Рис. 2.3.3. Разветвленное многообразие аттрактора Лоренца, по работам
Лоренца [1963] и Вильямса [1977]: (а) конструкция; (Ь) полупоток на S.
