Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Q: хотя такие точки могут вернуться в Q, мы не включаем их в Л). Таким
образом, Л является произведением двух канторовых множеств
(горизонтальные и вертикальные линии, из которых состоят и Л^°,
пересекаются трансверсально) и потому само является канторовым
множеством, т. е. совершенным, вполне несвязным замкнутым множеством
2.4. Динамика подскакивающего мяча
147
(см. Hocking, Young [1961, с. 106] или Willard [1970], где содержится
дискуссия о канторовых множествах, а также нижеследующие главы 5 и 6).
В главе 5 при помощи методов символьной динамики будет показано, что Л
содержит вышеупомянутые бесконечные семейства периодических орбит, а
также получены различные условия, выполнение которых гарантирует
существование и устойчивость таких множеств для конкретных отображений. В
применении к (2.4.4), эти условия выполняются при а = 1, 7 > 57г. При
уменьшении а может потребоваться увеличение 7 (см. рис. 2.4.2-2.4.3).
Соответствующие вычисления будут приведены в главе 5, поэтому здесь они
не рассматриваются. Можно доказать следующее утверждение (Holmes
[1982а]).
Предложение 2.4.1. Инвариантное множество Л содержит'.
(a) счетное множество периодических орбит всевозможных периодов',
(b) несчетное множество непериодических движений',
(c) некоторую плотную орбиту, далее,
(d) все периодические орбиты принадлежат к седловому типу и плотны в Л.
Кроме того, сужение f на А структурно устойчиво.
Множество Л имеет предельно сложную структуру и содержит несчетное
множество непериодических или хаотических орбит, при этом оно не является
аттрактором. Тем не менее, оно может оказывать драматическое влияние на
поведение типичной орбиты, проходящей вблизи этого множества, поскольку
устойчивое многообразие 1НДЛ), или множество орбит {/"((?)},
асимптотических к Л при п -> оо, ведет себя как несчетное множество
сепаратрис седел. (В действительности, локально это устойчивое
многообразие совпадает с Л^°: произведением интервала и некоторого
канторова множества.) Поэтому следует ожидать, что орбиты, проходящие
вблизи Л, показывают сверхчувствительную зависимость от начальных условий
и демонстрируют переходный период хаоса, предшествующий затягиванию на
некоторую устойчивую периодическую орбиту, подобно уравнению Дуффинга для
определенных диапазонов параметров. Напомним, что такие притягивающие
орбиты могут сосуществовать с подковой, так как мы рассмотрели лишь
действие / на специально выбранную область D в пространстве состояний.
Как и при изучении уравнения Дуффинга, рассмотрим теперь поведение
отображения при возрастании силы 7 и фиксированном а < 1. В частности,
зафиксируем область Q, ограниченную прямыми ф = 0, ф = = 2-к, ф + v =
2п7г, ф + v = (2п + 2)л и выбранную так, что fa,o(Q) целиком лежит ниже Q
(см. рис. 2.4.3(a)). При возрастании 7 центр образа области Q поднимается
до тех пор, пока образ горизонтальной прямой AC (v = 2п7г), описываемый
соотношением v = 2птта - 7 cos ф, лишь
148
Глава 2
касается АС в точке (ф, и) = (л, 2п7г), см. рис. 2.4.3(b). Это происходит
при 7 = 7п = 2п7г(1 - а) и означает, очевидно, бифуркацию "седло-узел"
для пары неподвижных точек, лежащих на прямой v = 2п7г (см. (2.4.13)). Мы
уже знаем, что этот сток испытывает бифуркацию перехода к стоку периода
два при 7 = у' = 2^/п2тг2(1 - а)2 + (1 + а)2. Мы приходим к выводу о
существовании некоторой бесконечной последовательности дальнейших
бифуркаций в промежутке между у'п и критическим значением 7*, при котором
возникает подкова (рис. 2.4.3(c)), так как для 7)7^ Q существует счетное
множество периодических орбит сколь угодно большого периода.
Работы Newhause [1974, 1979, 1980], а также Гаврилова и Шильникова [1972,
1973] показывают, что в процессе рождения подковы (уп < 7 < 7*), пока
образ /a,7(Q) еще не пересекает Q по двум раздельным полоскам, в
результате бифуркаций "седло-узел" рождается бесконечное число семейств
устойчивых периодических орбит, которые затем последовательно удваивают
свои периоды в одноименной бифуркации при возрастании 7. Таким образом,
можно найти устойчивые орбиты периода, большего любого наперед заданного
числа. Такие орбиты практически неотличимы от ограниченных
непериодических движений, составляющих подкову, но, благодаря
устойчивости, они наблюдаемы. Newhouse предположил [1979], что такие
орбиты могут образовывать гипотетический "странный аттрактор",
наблюдавшийся Нспоп [1976] и многими другими при численных итерациях
двумерных отображений. Эти вопросы будут обсуждаться более подробно в
главе 6.
В заключение вновь приведем результаты численного моделирования,
выявившие существование некоторых сложных орбит отображения /а,7. На рис.
2.4.5 показана последовательность орбит для фиксированного значения а =
0,8 и нескольких значений 7. Устойчивый сток (а) переходит в орбиту
периода 2 (Ь), а на фрагментах (с) и (d) видны последующие более сложные
орбиты. В каждом из случаев начальные условия выбирались вблизи v = 2п.
