Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
порождается градиентом V, и, таким образом, в соответствии со вторым
законом Ньютона мы получаем такую простую модель балки:
х = - grad V, (2.2.3)
или
х - х + х3 =0. (2.2.4)
Диссипация, обусловленная трением и сопротивлением окружающего воздуха,
описывается линейным по скорости членом, что приводит к уравнению
х + 8х - х + х3 =0. (2.2.5)
Уравнение (2.2.5) несложно для анализа, как мы увидим, оно служит
разумной моделью движения балки в стационарном жестком корпусе. (Читатель
при желании вправе добавить подходящие коэффициенты для получения
подходящих, с физической точки зрения, частот.) Разумеется, уравнение
(2.2.5) описывает лишь одну моду колебаний, однако если балка достаточно
длинная и тонкая, а магниты достаточно мощные, то наблюдаемые колебания
действительно в основном соответствуют первой моде (см. Moon, Holmes
[1979]).
Начнем теперь трясти аппарат при помощи электромагнитного виброгенератора
по синусоидальному закону, как показано на рисунке. Такие колебания
учитываются за счет добавления силы в уравнение движения, в результате
получаем уравнение (2.2.1). В действительности, Moon и Holmes вывели
(2.2.1) как галеркинское приближение для системы достаточно общих
уравнений в частных производных, описывающих упругую балку в неоднородном
магнитном поле. Представленный здесь подход призван сделать модель более
правдоподобной.
116
Глава 2
Время
(6)
МЛУГШАГ
Время
Рис. 2.2.2. Колебания балки и решение уравнения (2.2.1).
Электромеханический датчик деформаций, расположенный вблизи основания
балки, измеряет ее кривизну как функцию времени. Поскольку движение в
основном описывается первой модой, это обеспечивает эффективное измерение
смещения конечной точки x(t). При малой амплитуде внешней силы 7 мы
наблюдаем периодические движения вблизи одного из магнитов, однако при
постепенном возрастании величины 7 наступает момент, когда балка
"внезапно" начинает прогибаться взад и вперед по нере-гегулярному,
хаотичному на вид закону. Этот процесс не является переходным: при
фиксированных значениях амплитуды 7 и частоты возбуждения и хаотическое
движение наблюдалось в течение нескольких часов, т. е. на 105 периодах
внешней силы. Фрагмент соответствующей осциллограммы представлен на рис.
2.2.2 наряду с типичным решением уравнения (2.2.1).
Очевидно качественное соответствие обоих графиков, хотя читатель может
задуматься, почему пики на записи экспериментов выглядят более
"заостренными", нежели на графике решения уравнения (2.2.1). (Эта острота
пиков не является следствием используемой техники измерений, но
свидетельствует о присутствии старших мод колебаний.) Следовательно, мы
вправе испытывать определенное доверие к обсуждаемой простой модели.
Сначала рассмотрим задачу в отсутствие внешних сил: 7 = 0. Введем
дополнительный параметр /3 для описания соотношения магнитной и упругой
сил. Возрастанию /3 отвечает рост магнитных сил. Система описывается
уравнением первого порядка
5х - /Зх -
или двумя уравнениями второго порядка
О
v = (Зи - и - Sv.
(2.2.6)
Как несложно проверить, при [3 < 0 (слабые магниты) имеется единственное
положение равновесия в начале координат, а в случае (3 > 0 имеется
2.2. Уравнение Дуффинеа
117
три положения равновесия в точках х = О, ±\/Д. Если (3 > 0, то эти
равновесия являются, соответственно, стоком (при /3 < 0) или двумя
стоками и седлом (при /3 > 0). В терминах бифуркационного анализа,
используемых в главах 3 и 7, система (2.2.6) испытывает при прохождении
/3 через ноль бифуркацию типа "вилка".
Рис. 2.2.3. Уравнение Дуффинга без внешней силы: (a) S = 0; (Ь) 6 > 0.
Для получения глобальной информации о фазовом портрете заметим, что при
<3 = 0 система имеет гамильтонову форму с гамильтонианом
H(u,v) = ^-f3^ + ^. (2.2.7)
Поскольку решения лежат на линиях уровня Н, мы можем немедленно
изобразить фазовые портреты для случая (3 = 0 - см. рисунок 2.2.3(a).
Добавление члена - Sv во второе уравнение приводит к смещению векторного
поля вовнутрь на всех замкнутых линиях уровня (кроме точек, где v = 0), и
мы получаем качественное поведение, изображенное на рисунке 2.2.3(b). В
частности, можно найти такую замкнутую односвязную область D С R2, во
всех точках границы которой векторное поле направлено вовнутрь. Свойство
глобальной устойчивости сохраняется даже при ненулевом возбуждении, если
векторное поле не зависит от времени (см. Holmes [1979а], Holmes, Whitley
[1983а]). Перейдем к рассмотрению этого случая.
118
Глава 2
Считая у ф 0 и полагая /3 = 1, вернемся к уравнению (2.2.1), которое
можно переписать в виде автономной системы
{й = v,
v = и - и3 - Sv + ycosujd, (и, v, в) ? М2 х S1, (2.2.8)
6 = 1,
где S1 = R/Т представляет собой окружность длины Т = 2tt/lj. Выберем
сечение Е = {(и, v, в) \ в = 0} и рассмотрим отображение Пуанкаре Р : Е -
> Е (отмеченное выше свойство устойчивости и следующая из него
ограниченность всех решений гарантируют, что Р определено глобально).
