Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
пересекающих Е трансверсально к S. (В процессе проектирования каждая из
этих кривых переходит в некоторую точку на S.) Если Ь+ и Ъ- лежат на двух
таких кривых, то неустойчивое многообразие точки р лежит на ее устойчивом
многообразии и мы имеем, следовательно, гомоклиническую орбиту.
(Существование двух таких орбит следует из симметрии потока.) Так как dim
Wu(p) + dim W8{p) = 1 + 2 = 3, то мы имеем нетрансвер-сальное, структурно
неустойчивое пересечение, которое может быть разрушено малыми
возмущениями, см. рисунок 2.3.9. Однако из плотности точек устойчивого
многообразия W8(p) на множестве Е следует, что если такого соединения не
существует, то его можно восстановить за счет другого произвольно малого
возмущения. Следовательно, и системы с сед-ловым соединением, и системы
без него составляют плотные множества, и ни одна из систем не является
структурно устойчивой. Мы вернемся к более подробному рассмотрению
данного вопроса в разделе 5.7; технические детали, касающиеся
устойчивости аттракторов Лоренца, можно найти в Guckenheimer, Williams
[1979] и Robinson [1981а].
Мы заканчиваем этот раздел замечанием, что, хотя описанные здесь
качественные свойства аттрактора Лоренца кажутся сохраняющимися в широком
диапазоне параметров (р, <т, /3), с ростом р при фиксированных а и /3
притягивающие движения вновь становятся относительно простыми. Robins
[1979] показала, что в пределе при р -> оо система становится
интегрируемой, и, используя точное решение для этого случая, смогла
продемонстрировать существование пары притягивающих периодических орбит
для достаточно больших р. При убывании р (в диапазоне 100-200, для сг =
10, /3 = 8/3) происходят последовательные бифуркации удвоения периода, в
результате чего сложность потока прогрессирует вплоть до появления
странного аттрактора. Более подробно этот вопрос освещен в монографии
Sparrow [1982] и цитируемой там литературе.
Мы рассмотрим роль последовательных бифуркаций удвоения периода в
создании хаотических потоков в главе 6, где обсуждаются также некоторые
бифуркации уравнений Лоренца, происходящие при возрастании р в интервале
(1 ,рн)-
2.4. Динамика подскакивающего мяча
В качестве последнего примера возьмем отображение, представляющее собой
модель повторных соударений шара с массивным столом, колеблющимся по
синусоидальному закону. Мы используем обычное соотношение
138
Глава 2
(2.4.1)
где U, V и W представляют собой абсолютные скорости падающего и
отскакивающего мяча и стола соответственно, 0 < а ^ 1 - коэффициент
восстановления, t = tj - момент j-го удара. Допустим также, что
расстояние, которое пролетает мяч в промежутке между ударами под
действием силы тяжести, намного больше амплитуды перемещений стола. Тогда
промежуток времени между соударениями можно оценить так:
Используя формулы (2.4.1)-(2.4.3), получим рекуррентное соотношение,
связывающее состояние системы при (j + 1)-м ударе и ее состояние при j-м
ударе посредством нелинейного отображения. Считая закон движения стола
синусоидальным (-[3 sin tot), представим это отображение в виде
где ф = cot, v = 2 coV/ д и 7 = 2со2(1 + а){3 j д.
Здесь у играет роль амплитуды силы, а - роль диссипации. Более подробно
механические и математические аспекты данной проблемы обсуждены в Byrne
[1981] и Holmes [1982а].
Задача о подскакивающем мяче предоставляет пример физической системы,
анализ которой приводит к дискретной динамической системе напрямую, а не
посредством отображений Пуанкаре для дифференциальных уравнений, как в
предыдущих примерах. Однако, хотя в данном случае мы имеем простое
аналитическое выражение для отображения, что существенно облегчает
численные расчеты ввиду явного вида итераций, анализ этого отображения
оказывается столь же сложным, как и в предыдущих случаях.
Несложно проверить, что формулы (2.4.4) определяют гладкое обратимое
отображение или диффеоморфизм, причем обратное отображение задается
формулами
(2.4.2)
(2.4.3)
Фз + 1 - Фз + V3з
fj+i = ctVj - у cos+ Vj),
(2.4.4)
2.4. Динамика подскакивающего мяча
139
Далее, определитель матрицы Якоби
Df
(2.4.6)
постоянен (равен а), поэтому для а < 1 это отображение равномерно сжимает
площадь, а в случае абсолютно упругого удара а = 1 оно сохраняет площадь.
Последний (гамильтонов) случай широко изучался, по большей части
физиками, в связи с некоторыми проблемами физики частиц: см., например,
Чириков [1979], Greene [1980], Лихтенберг и Либерман [1982]. В этих
работах выбрана несколько иная координатная система, а диффеоморфизм
называется "стандартным отображением". Кроме того, Пустыль-ников [1978]
рассмотрел описанную выше проблему, построил точное отображение для
случая общего периодического возбуждения и показал, что оно, так же как и
приближенное отображение (2.4.4), допускает открытое множество начальных
условий (фо,щ) таких, что ип -> оо при п -> оо для подходящих конечных
значений 7 и а = 1. Наряду с этими неограниченными движениями, найдены
