Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 39

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 199 >> Следующая

орбиты периода 4.
2.1. Уравнение Ван дер Поля
111
Рис. 2.1.6. Кусочно-линейное отображение Ван дер Поля / уравнения
(2.1.23).
Рисунок 2.1.8 иллюстрирует роль неустойчивой орбиты периода два (орбита
{0, 0,5, 0, 0,5 ...}) в этом аспекте. На рис. 2.1.8(b) начальные условия
взяты на устойчивом многообразии этой орбиты, а на рис. 2.1.8(а, с) -
очень близко к этому многообразию. Вследствие (2.1.23) эти орбиты имеют
следующий вид:
(а) 0, 5555444444->0, 555444444->0,55444444->0,5444444 ->
-> 0, 444444 -> 0,44444 -> 0,4444 -> 0, 444 -> 0,44 -> 0,4 = § ...
С)
(б) 0,5555444445 ->0,555444445 -> 0,55444445 ->0,5444445 ->
-> 0, 444445 -> 0,44445 -> 0,4445 -> 0, 445 -> 0,45 -> 0, 5 -> 0 ->
-> 0,5 -> 0 -> 0,5...
(с) 0,5555444446-
0,444446 ¦
0,46 -> 0,6 = ^ . . .
5
Заметим, что хотя компьютер может обнаружить орбиту ..., 0,5, 0, 0,5, 0,
..., последняя неустойчива, так как
§ (fm = i/'(o,5) ¦ /'юл =
10-'-з)1 = I >х-
На представленных выше орбитах проявляется одно важное свойство: орбита
последовательно "забывает" подробности своего начального поло-
Рис. 2.1.7. Орбиты отображения / уравнения (2.1.23): (а) хо = 0,29; (Ь)
хо = 0,70;
(с) хо = 0,445 + КГ11; (d) 0,445 + 3 • КГ11; (е) 0,445 + 6 • 1СГ11.
жения - число значащих цифр быстро уменьшается. Любая конечноразрядная
вычислительная машина, например, использовавшийся в этих вычислениях
компьютер Hewlett-Packard HP 85, способна сохранять данные лишь с
конечной точностью, скажем, N значащих цифр. Две орбиты с начальными
условиями, различающимися в (N + 1)-й значащей цифре, будут поэтому
неразличимы при расчетах, хотя в действительности они могут вести себя
совершенно по-разному: рассмотрите орбиты, подобные вышеприведенным, чьи
начальные условия оканчиваются соответственно на 4 и 6, стоящими на (N +
1)-й десятичной позиции. Мы вернемся к этому свойству позднее, при
обсуждении символической динамики и автоморфизма сдвига на символьных
последовательностях в главе 5.
2.2. Уравнение Дуффинеа
113
а)
I
50 0
Ь)
50
с)
50
Рис. 2.1.8. Орбиты отображения / уравнения (2.1.23): (а) хо =
0,5555444444;
(Ь) х0 = 0,5555444445; (с) х0 = 0,5555444446.
В качестве резюме отметим, что при беглом рассмотрении системы Ван дер
Поля мы увидели, как относительно простой фазовый портрет автономной
системы на плоскости порождает более сложную картину отображения
Пуанкаре, ассоциированного с системой с периодической внешней нагрузкой.
Хотя в случае слабой нагрузки можно перейти к эквивалентной системе на
плоскости путем усреднения, пригодность такого анализа ограничена. В
системах с сильным возбуждением приближенный подход также позволяет
эффективно понизить размерность задачи, однако получаемое при этом
одномерное отображение окружности необратимо и проявляет примечательно
сложную динамику. Эти наблюдения характерны и для следующих примеров.
2.2. Уравнение Дуффинга
Дуффинг [1918] ввел в рассмотрение нелинейный осциллятор с кубическим по
координате членом для описания эффекта жесткости пружины, наблюдаемого во
многих механических задачах. С тех пор эта система ста-
114
Глава 2
Рис. 2.2.1. Магнитоупругая балка.
ла, наряду с уравнением Ван дер Поля, одним из наиболее популярных
примеров в книгах и статьях, посвященных нелинейным колебаниям. В данном
разделе обсуждается одна из модификаций традиционного уравнения Дуффинга,
в которой линейная жесткость отрицательна1. Такое уравнение описывает
динамику прогиба балки или пластины при учете лишь одной моды колебаний.
В частности, Moon и Holmes [1979, 1980] показали, что уравнение Дуффинга
вида
х + 5х - х + х3 = 7 cosuit (2.2.1)
представляет собой простейшую из возможных модель вынужденных колебаний
консоли в неоднородном поле двух постоянных магнитов. На рис. 2.2.1
изображена схема экспериментального аппарата, использовавшегося Moon,
Holmes. Тонкая стальная балка зажата в жестком корпусе, на котором также
закреплены магниты. Притяжение последних преодолевает упругие силы,
которые сами по себе удерживали бы балку в прямолиней-
111о поводу исследования уравнения Дуффинга см., например, [2, 3], а
также ссылки в этих
книгах. Отметим, что первое, наиболее полное, исследование существенно
нелинейного урав-
нения Дуффинга с периодическим по времени возмущением было проведено в
работах [7, 8]. - Прим. ред.
2.2. Уравнение Дуффинеа
115
ном состоянии. В результате, в отсутствие внешнего возбуждения, свободный
конец балки располагается вблизи одного из магнитов. Имеется также
неустойчивое центральное положение равновесия, в котором магнитные силы
исчезают: наличие такого "потенциального барьера", разделяющего две
области притяжения, несложно обнаружить, осторожно перемещая свободный
конец балки. Простейшей моделью такого потенциала служит симметричное
одномерное поле
V(x) = х - Т' <2-2-2)
хотя наличие симметрии и не является определяющим свойством. Здесь
единственная координата х характеризует положение балки, ее можно
положить равной смещению ее конца. Сила, действующая на балку,
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed