Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 52

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 199 >> Следующая

ограниченных хаотических движений шара, допускающих математическую
аналогию в области v > 0. Такие движения действительно наблюдались
экспериментально, как было отмечено Wood, Byrne [1981].
2.5. Заключение. Мораль басни
Представленные в данной главе фрагменты анализа и численных расчетов
четырех моделей физических систем наводят на мысль о наличии некоторых
свойств, из которых наиболее поразительным является возможность наличия
ошеломляюще сложных решений у "простых" дифференциальных уравнений
размерности три и более. Более того, поскольку такие системы, описывающие
вынужденные колебания или автономную эволюцию, играют существенную роль в
моделировании нелинейных процессов, важно понять типичные структуры их
решений. В данной книге мы придерживаемся точки зрения, что такое
понимание лучше всего достигается с геометрической или топологической
точек зрения. Куча компьютерных расчетов без попытки какого-либо
объяснения или анализа не слишком полезна.
В последующих главах развивается несколько аналитических методов,
позволяющих более полно понять бифуркации, хаотические движения и
странные аттракторы, подобные представленным в данной главе. В некоторых
случаях эти "новые" методы, по сути дела, представляют собой так
называемые методы теории возмущений, интерпретируемые геометрически, но
большая часть рассмотрений, включая понятия гиперболичности и методы
символической динамики, по-видимому, менее знакома читателю. Мы будем
постоянно возвращаться к этим четырем примерам для иллюстрации новых
аналитических методов по мере их представления, заполняя по ходу дела
бреши в представленном выше беглом анализе.
Глава 3
Локальные бифуркации
В данной главе изучаются локальные бифуркации векторных полей и
отображений. Как мы увидели, интересные, с физической точки зрения,
системы обычно включают некоторые параметры, появляющиеся при составлении
систем уравнений. Когда эти параметры изменяются, при определенных их
значениях могут произойти изменения в качественной структуре решений.
Такие изменения называют бифуркациями, а соответствующие значения
параметров - бифуркационными значениями. В данной главе, а также главах 6
и 7, развивается с возможной полнотой систематическая теория, позволяющая
провести анализ типичных встречающихся бифуркаций. Пристальное внимание
уделяется примерам, представленным во второй главе, которые используются
для иллюстрации представляемой теории.
Имеются очевидные пределы, ограничивающие систематическое развитие теории
бифуркаций. В областях параметров, состоящих из структурно неустойчивых
систем, подобные встречавшимся в системе Лоренца, детальные изменения в
классе топологической эквивалентности потоков могут быть чрезвычайно
сложными. Многие важные аспекты этой ситуации остаются непонятными и
требуют достаточно полной теории структурной устойчивости для систем
второго порядка. Поэтому в данной главе мы сфокусируемся на простейших
бифуркациях изолированных положений равновесия и периодических орбит -
части теории, отличающейся относительной полнотой. Поскольку анализ таких
бифуркаций обычно связан с изучением векторного поля вблизи вырожденного
(бифурцирующего) положения равновесия или замкнутой орбиты, а
бифуркационные решения также ищутся вблизи этих предельных множеств, то
эти бифуркации называют локальными. Глобальные бифуркации, в особенности
те из них, которые характеризуются отсутствием трансверсальности между
устойчивым и неустойчивым многообразиями периодических орбит и
равновесий, будут обсуждаться в главе 6. В главе 7 рассматриваются
задачи, в которых бифуркации являются вырожденными, если только не
рассматривать их в контексте систем с двумя и более параметрами.
Оказывается, что даже изучение локальных двухпараметрических бифуркаций
требует понимания глобальных бифуркаций, так как последние естественным
образом возникают в двухпараметрических семействах.
3.1. Бифуркационные проблемы
155
Вначале мы рассмотрим несколько простых примеров бифуркаций неподвижных
точек одномерных и двумерных потоков, затем перейдем к развитию общей
теории бифуркаций неподвижных точек n-мерных потоков. Главными
компонентами такой теории являются теоремы о центральном многообразии и
нормальной форме. В заключение главы мы обратимся к локальным бифуркациям
отображений и разовьем для них аналогичную теорию.
3.1. Бифуркационные проблемы
Термин "бифуркация" был впервые применен Пуанкаре для описания
"расщепления" равновесных решений в семействе дифференциальных уравнений.
Если ± = Ш; * ,= ж", € R' (3.1.1)
- система дифференциальных уравнений, зависящая от fc-мерного параметра
/г, то равновесные решения этой системы совпадают с корнями уравнения
/м(ж) = 0. Как следует из теоремы о неявной функции, при изменении /г эти
положения равновесия описываются гладкими функциями /г вне тех точек, в
которых матрица Якоби, составленная из производных от /м(ж) по х, Dxf^,
имеет нулевое собственное значение1. График каждой из этих функций
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed