Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 54

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 199 >> Следующая

трансверсальности следует, что если два многообразия (поверхности)
размерностей к и I лежат в n-мерном пространстве, то в общем случае их
пересечение будет многообразием размерности (к + I - п). Если к + I < п,
то вообще не следует ожидать пересечения. Например, двумерные поверхности
в трехмерном пространстве обычно пересекаются по кривым, а две кривых в
трехмерном пространстве обычно не пересекаются. Смысл выражения обычно
дается в терминах топологии функционального пространства вложений /-
мерных многообразий в n-мерное пространство. Заметим лишь, что
158
Глава 3
нетрансверсальные пересечения могут быть превращены в трансверсальные
путем малых шевелений, а трансверсальные пересечения сохраняют свою
топологию при возмущениях. Общее положение или трансверсалъное
пересечение многообразий в n-мерном пространстве характеризуется тем, что
линейная оболочка касательных пространств к пересекающимся многообразиям
совпадает со всем пространством. Формулу размерностей можно также
переписать в терминах коразмерностей. Коразмерность /-мерного
подмногообразия n-мерного пространства равна (п - /). Тогда для общего
пересечения двух подмногообразий Еь Е2 выполнено равенство (п - I) + + (п
- к) = 2п - (/ + к) = п - (I + к - п). Следовательно, для трансвер-
сального пересечения коразмерность пересечения Ei П Е2 является суммой
коразмерностей Ет и Е2.
В качестве примера рассмотрим две кривые на плоскости, одна из которых
совпадает с осью х, а вторая является графиком некоторой функции /. Эти
две кривые пересекаются трансверсально в точке х, если f(x) = О (условие
пересечения) и f'(x) Ф 0 (трансверсальность). Можно сказать, что
трансверсальное пересечение данных кривых является простым нулем. Если /
имеет лишь простые нули, то и малые возмущения функции / имеют то же
количество нулей, что и /. В семействе /м простые нули изменяются как
гладкие функции /г (это утверждение следует из теоремы о неявной
функции). Непростые нули не обладают этим свойством. Например, семейство
/м(ж) = р + х2 имеет непростой нуль в точке (х, р) = (0, 0). Для р > 0
функции /м вовсе не имеют нулей. Заметим, однако, что если считать /м(ж)
= F(x, р) функцией двух переменных, то ее график пересекает координатную
плоскость (х, р) трансверсально по кривой р + х2 = 0. Таким образом, хотя
точка бифуркации (х, р) = (0, 0) соответствует неустойчивой системе,
бифуркационная диаграмма, соответствующая семейству систем, устойчива к
малым возмущениям. Отметим, что loss, Joseph [1981] проводят строгое
различие между такими "точками поворота" или бифуркациями типа "складка"
и бифуркациями разветвления, подобными показанной на рис. 3.1.1.
УПРАЖНЕНИЕ 3.1.3. Проверьте утверждения, содержащиеся в вышеприведенном
абзаце.
УПРАЖНЕНИЕ 3.1.4. Покажите, что график /Дж) = F(x, р) - х3 - хр
пересекает плоскость (ж, р) не везде трансверсально. Во что, по вашему
мнению, можно преобразовать диаграмму бифуркации "вилка", представленную
на рис. 3.1.1, малым возмущением? (Попробуйте добавить к /Дж) члены v и
их2.)
Трансверсальность используется в теории бифуркаций следующим образом. Мы
собираемся изучить бифуркации, встречающиеся в общих к-параметрических
семействах (3.1.1) (возможно, в классе векторных полей с симметриями или
другими особыми условиями). Попытаемся сделать это,
3.1. Бифуркационные проблемы
159
сформулировав некоторый набор условий трансверсальности (неравенств),
которым удовлетворяет большинство семейств при бифуркационном значении цо
• При этом значении будут нарушены некоторые из условий структурной
устойчивости, что и определяет тип происходящей бифуркации.
Проиллюстрируем это примером.
Рассмотрим двухпараметрическую систему вида (3.1.1) с бифуркационным
значением /ig, при котором /м имеет негиперболическое положение
равновесия р. Мы можем изучить линейную часть /м в точке р, а также
характер изменений векторного поля /м для /1, близких к /1 о. Используя
трансверсальность, мы ожидаем, что множество положений равновесия системы
(3.1.1) в пространстве (х, /г) образует некоторую гладкую двумерную
поверхность Ж.
Упражнение 3.1.5. Проверьте данное утверждение.
При изучении линейной части функции /м в положении равновесия из Ж мы
можем сформулировать условие трансверсальности, гарантирующее, к примеру,
что ни одно из линейных отображений для /м не обладает нулевым
собственным значением кратности больше двух, а при наличии нулевого
собственного значения кратности два ему отвечает блок (jj J) в жордановой
нормальной форме. Для составления этого условия трансверсальности
определим отображение поверхности Ж в пространство квадратных матриц,
ставящее в соответствие точке (х, /г) ? Ж производную Якоби Dxfм в этой
точке. В пространстве квадратных матриц существуют подмногообразия,
соответствующие различным комбинациям собственных значений на мнимой оси.
Так как поверхность Ж двумерна, ее образ при данном отображении
пересекается, вообще говоря, лишь с подмногообразиями пространства матриц
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed