Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 53

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 199 >> Следующая

представляет собой некоторую ветвь положений равновесия системы (3.1.1).
В положении равновесия (жо, Цо), в котором Dxfм имеет нулевое собственное
значение, могут сходиться несколько ветвей равновесий, такая точка (жо ,
цо) называется точкой бифуркации.
В качестве примера рассмотрим уравнение (3.1.1), где /м(ж) = рх -
- ж3. Здесь Dxfn = /1 - Зж2, и единственной точкой бифуркации является
(ж, /г) = (0, 0). Легко проверить, что единственная неподвижная точка ж =
= 0, существующая при /г ^ 0, устойчива, а при /г > 0 она становится
неустойчивой, в то время как вновь рождающиеся неподвижные точки ж = =
±ЛД1 устойчивы. Мы получаем качественную картину, изображенную на рис.
3.1.1, где ветви равновесия показаны в пространстве (ж,/г). Этот рисунок
является примером бифуркационной диаграммы.
Упражнение 3.1.1. Исследуйте бифуркации положений равновесия для системы
х = Д(ж), где ц близко к нулю, в случаях
(a) U(x) = р - ж2;
(b) Д(ж) = цх - х2;
(c) Д(ж) = ц2х - ж3;
(d) Д(ж) = ц2х + ж3;
(e) /Дж) = ц2ах + 2цж3 - ж5, для различных а.
!Мы иногда будем обозначать матрицу Dxf^ как Df^ или просто как Df,
подобно главам 1 и 2, если это не приведет к искажению смысла.
156
Глава 3
источники;
В каждом из случаев найдите нетривиальные неподвижные точки и исследуйте
их устойчивость. Постройте также бифуркационные диаграммы. Некоторые из
этих бифуркаций являются более вырожденными, чем другие: малые возмущения
ffj, могут изменить топологическую структуру соответствующих
бифуркационных диаграмм. Попробуйте выявить такие бифуркации и изобразить
какие-либо возмущенные диаграммы.
Бифуркации положений равновесия обычно приводят к изменениям
топологического типа потока, но существует и много других типов изменений
топологических классов потоков. Мы включаем все такие изменения в понятие
бифуркации.
Определение 3.1.1. Значение ро, для которого поток уравнения (3.1.1)
структурно неустойчив, называется бифуркационным значением параметра р.
Это определение не вполне удовлетворительно, поскольку оно предполагает
изучение тонкой структуры потоков, для которой не существует полного
описания. Следовательно, попытки построить систематическую теорию
бифуркаций приводят к очень сложным техническим вопросам, не все из
которых связаны с приложениями этой теории. Чтобы избежать этих
трудностей, часто ослабляют данное выше определение и изучают только
некоторые из качественных свойств систем дифференциальных уравнений. Мы
не станем, однако, ограничиваться "статической" проблемой, в которой
изучаются лишь бифуркации положений равновесия (см. Sattinger [1973]).
Другая особенность данного определения состоит в том, что точка
бифуркации не обязательно отвечает изменению класса топологической
эквивалентности потока. Например, система х = - {р2х + а;3) имеет точку
бифуркации р = 0, однако все потоки этого семейства имеют глобально
притягивающее положение равновесия х = 0. Однако произвольные возму-
3.1. Бифуркационные проблемы
157
щения (деформации) действительно приводят к топологически различным
потокам (см. упражнение 3.1.1).
Изобразим бифуркационное множество для данной системы (3.1.1). Оно
состоит из таких множеств точек в пространстве /г, для которых
структурная устойчивость нарушается по одному из конкретных сценариев,
которые мы попытаемся классифицировать в той степени, в какой сможем.
Зачастую также удобно нарисовать бифуркационные диаграммы: множества
точек в пространстве (х,р), составляющие инвариантные множества системы
(3.1.1) (или части этих множеств). Такие инвариантные множества не
обязательно являются просто неподвижными точками, как на рис. 3.1.1;
например, периодические орбиты часто изображают, используя некоторую меру
(|ж|) их амплитуды.
УПРАЖНЕНИЕ 3.1.2. Исследуйте устойчивость неподвижной точки (х, у) = =
(0, 0) для системы
/2. 2\ /2, 2\2 X - Ц\Х - У - Ц2Х{Х + у ) - х(х + у ) ,
У = Х + Ц1У- Ц2'у(х2 + у2) - у(х2 + у2)2
и найдите какие-либо семейства периодических орбит, испытывающих
бифуркацию (ср. упражнение 1.5.2). Нарисуйте бифуркационную диаграмму
(график на пространстве (711,712)), отображая на ней неподвижные точки и
периодические орбиты.
Особый интерес представляет существование распознаваемых типов
бифуркаций, встречающихся раз за разом во многих задачах. В идеале нам
хотелось бы иметь классификацию бифуркаций, предоставляющую конкретный
список возможностей для каждого примера, исходя лишь из общих
соображений, таких как число параметров в задаче, размерность фазового
пространства, а также имеющиеся симметрии или другие особые системы
(например, уравнение Дуффинга с возбуждением и система Лоренца обладают
свойством сжатия фазового объема, что исключает для этих систем многие
типы поведения). Такая классификация частично разработана, и мы приведем
довольно подробный обзор в данной главе, а также главах 6 и 7.
Схемы классификации основаны на понятиях, взятых из теории
трансверсальности в дифференциальной топологии. Из теоремы
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed