Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
относительно времени перехода t и подставляя полученный результат t = =
X-1 ln(zi/z(0)) в (6.5.2). Мы получаем
4>t{x,y,z) = ((if) 1 (a; cos 7 - у sin у), 1 (xsiny + у cosy), zi j,
(6.5.4)
где у = /ЗА 1 \n(zi/z). Полагая x = rocosO, у = rosin(9, мы сможем
выразить затем ф: Ео -> Ei как двумерный диффеоморфизм, в области
определения которого заданы координаты в = arctg(y/x) иг, ав области
значений - координаты (х, у):
ф{в, z) = (^о(§-) / cos(6" + у), rQ(jf) sin(6" + y)j d=f
d= (фг(в,г), ф2{в,г)). (6.5.5)
398
Глава 6
Заметим, что ф отображает вертикальный сегмент в = const, лежащий на
поверхности So, в логарифмическую спираль, окружающую ось z и лежащую в
Si. Чтобы убедиться в том, что данный сегмент при отображении
растягивается, необходимо вычислить матрицу Якоби для ф. Мы имеем из
(6.5.5)
Данную матрицу можно представить в виде произведения двух матриц
Отсюда видно, что для достаточно малых z отображение ф сжимает
(соответственно, расширяет) площади при 2а < -А (соответственно, при 2а >
-А), что согласуется с тем фактом, что дивергенция рассматриваемого
векторного поля в седловой точке равна 2а + Л. Однако поскольку -1 < а/А
< 0, то даже в случае, когда ф сжимает площади, вертикальные отрезки {в =
const, z ? (0, zq)} на поверхности So отображаются в логарифмические
спирали с радиусами ro(zi/z)a/x, поэтому коэффициент растяжения их длины
неограничен при z -> 0. ¦
УПРАЖНЕНИЕ 6.5.1. Убедитесь в справедливости уравнений (6.5.6) и (6.5.7).
Теперь обозначим через р точку пересечения Wu(0) с So и примем q = (0,0,
z\) = Wu(0) П Si (см. рисунок 6.5.2). Поток от q к р вдоль Wu (0)
невырожден, поэтому существует диффеоморфизм ф из некоторой окрестности
точки q в Si в некоторую окрестность точки р на поверхности So = {(х, у,
z) | х2 + у2 - Tq, \z\ < zo}, определяемый по первому пересечению
соответствующей траектории с So. Отображение возврата для So вблизи р
можно представить как композицию ф о ф, определенную для тех точек г, для
которых ф(ф(г)) ? S0 (см. рисунок 6.5.3). За счет вращения системы
координат вокруг оси z можно добиться того, что точка р
дф\ дфг
дв dz
a cos в + р sin в
\z
a sin в - (3 cos в
\z
(6.5.6)
(такая декомпозиция пригодится позднее). Отсюда находим, что
(6.5.7)
6.5. Гомоклинические орбиты в трехмерных потоках
399
Рис. 6.5.3. Отображение возврата ф.
25
Рис. 6.5.4. V и ф о ф(у).
лежит на оси х (в = 0.) Возьмем малую область V в So, определенную по
формуле
V = {(г, в, z) | г = г0, \в\ < 5,0 < z < е}, (6.5.8)
где е выбирается так, чтобы ф{У) содержалось в области определения ф, а 5
будет определено позднее (рисунок 6.5.3). Образ отображения ф о ф{У)
иллюстрируется рисунком 6.5.4.
Каждый вертикальный отрезок, лежащий в V, отображается в некоторую
спираль, окружающую точку q в Si, а ф диффеоморфно отображает
400
Глава 6
эту спираль в Ео, причем ф{ф) = р. Если выбрать число S достаточно
большим по сравнению с е, то каждая спираль в области ф о ф(У)
многократно пересекает V по вертикали до тех пор, пока не будет достигнут
участок спирали, не проходящий через верхнюю границу области V.
Мы хотим найти подмножества V, в которых ф о ф{У) имеет подкову. Заметим,
что из (6.5.5) следует, что при изменении z вдоль вертикального сегмента
J = {z',z") С V, где (f3/\)(\n(z\/z') - \n(zi/z")) = 2тт или z"jz' =
ехр(27гА//3), величина ф(Ф) проходит один полный оборот логарифмической
спирали. Расстояние от ф(Ф) до q является величиной порядка (z\/z)a/x,z ?
J. Кроме того, (zi/z)alx/z -> оо при z -> 0. Зафиксируем 5 > 0 в
определении V и выберем (z',z") со следующими свойствами:
(i) z"/z' = ехр(27гА//3);
(ii) z" достаточно малы, так что {z\j z)a Iх < S для всех (/, z")\
(iii) если \в\ < 6, то образы ф о ф(го, в, z') и ф о ф(го,в, z") не лежат
в Е0.
(6.5.9)
Определим W = {(го, в, z) ? V \ z ? (z', z")} и заметим, что, в силу
(6.5.9), образ ф о il>(W) выглядит как подкова (см. рисунок 6.5.5).
Рис. 6.5.5. ф о фимеет подкову: штриховкой отмечены W П ф о ф(1У).
Чтобы продемонстрировать, что WПфоф(]У) содержит подкову, нужно показать,
что И(ф о ф) удовлетворяет секгориальным гипотезам Н1 и НЗ теоремы 5.2.4.
Первая из них проверяется непосредственно. Кроме того, поскольку ф
является диффеоморфизмом на Ei, то из (6.5.6) мы имеем
Б(ф о ф)(го, в, z) =го ("у) А
cosy - sin у sin у cos у
sin#
cos в
- a cos в + (3 sin в
A z
- ol sin 0 - [3 cos в
A z
(6.5.10)
6.5. Гомоклинические орбиты в трехмерных потоках
401
где А = Пф(гр(го,в, z)). Мы можем переписать правую часть (6.5.10) в виде
z-(a/\+i)BC
z 0
0 1
где
а матрица
В = roZla/xA
cosy sin 7
- sin у cosy
С =
- Sint
COS 6
- a cos 6 + j3 sin 6
A
- a sin 8-/3 cos в
A
(6.5.11)
компонент множе-так как для точек
невырождена и близка к постоянной в каждой из ства W П ф о ip(W), так как
\в\ < S. Кроме того, из W П ф о ф(Ш) образы под действием гр имеют в Si
аргументы, различающиеся примерно на 7г, то значения матрицы В на двух
компонентах множества Wr\(f>oip(W) различаются множителем, приблизительно
