Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 146

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 199 >> Следующая

что (В1 - U{) П (В2 - Vi) ^ 0, и предложение доказано. ¦
На основе этого предложения Newhouse пришел к выводу о существовании
гиперболических инвариантных множеств А в К2, устойчивое и неустойчивое
многообразия которых имеют касания, неразрушающиеся при малых
возмущениях. Мы приведем кратко его рассуждения.
Множествам VKS(A) и Wu (А) соответствуют толщины тя(А) и т"(А). Величина
т"(Л) определяется следующим образом. Выберем у ? Л и кривую 7,
трансверсальную к Wu(y), для которой 7(0) = у. Определим ти(у, 7, Л) =
inf {supr(T)}, где Г - некоторое канторово множество
в образе 7 L . П Wu(A,f). Newhouse [1979] доказал, что ти(у, 7,Л) не
I { ?,?)
зависит от у и 7, ввиду чего эту величину можно обозначить т"(Л). Кроме
того, он доказал, что т" (Л) положительна и непрерывно изменяется при
возмущениях класса С2 диффеоморфизма, определяющего Л. Аналогичные
определения и результаты остаются в силе для т5(Л). Следовательно, если
некоторый диффеоморфизм / в М имеет гиперболическое инвариантное
множество Л, для которого т5(Л)т"(А) > 1, и если VKS(A) имеет точку
тангенциального пересечения с WU(A), то существует е > 0 такое, что все
возмущения класса С2 и величины е имеют вблизи Л гиперболические
инвариантные множества с тангенциальными пересечениями. Это наблюдение
легло в основу ранних работ Newhouse [1970, 1974] и его диссертации.
Такие множества Л называют дикими гиперболическими множествами.
Второе наблюдение Newhouse состоит в том, что диффеоморфизм /, имеющий
гомоклиническое касание для седловой точки р, можно возмутить таким
образом, что он будет иметь гиперболическое инвариантное множество Л, для
которого т5(Л)т"(А) > 1 и имеется касание между VKS(A) и WU(A).
Рассматриваемое здесь гомоклиническое касание иллюстрируется рисунком
6.7.4, где показано "последнее" касание перед рождением "полной" подковы,
содержащей точку р.
Здесь / - диффеоморфизм, имеющий седловую точку р с собственными
значениями р, А, где р < 1 < X < р^1, как в предыдущем разделе. Заметим,
что, ввиду наличия точки q трансверсального пересечения между Wu (р) и Ws
(р) вблизи орбиты точки q, описываемой теоремой Смейла [1963], существует
гиперболическое инвариантное множество Ах. Кроме того, это инвариантное
множество имеет "неустойчивую" толщину r"(Ai), близкую к постоянной при
возмущениях /.
Мы хотим создать за счет возмущения / вблизи гомоклинической траектории
новое гиперболическое инвариантное множество Л2 с большой
6.7. Дикие гиперболические множества
415
Рис. 6.7.4. Гомоклинические касания приводят к диким гиперболическим
множествам.
"устойчивой" толщиной тя(А2) так, чтобы t"(Ai)ts(A2) > 1. Для этого
рассмотрим образ малого прямоугольника R с основанием на W&(p), середина
которого совпадает с точкой t гомоклинического касания. Для больших п
образ fn{R) будет лежать вблизи Wu(p), сильно растягиваясь вдоль Wu(p) и
подходя близко к t, см. рисунок 6.7.5.
Рис. 6.7.5. Создание множества с большой устойчивой толщиной.
Мы хотим изучить множества /" (Rn) при возрастании п, где Rn С R -
некоторый прямоугольник, состоящий из таких точек, образы которых лежат
вблизи Wu (р) П R. Прямоугольник Rn по горизонтали занимает все множество
R и имеет высоту по вертикали (толщину), пропорциональную А-". Ширина
множества fn(Rn) в направлении нормали к Wu(p), а также рас-
416
Глава 6
стояние от него до Wu(p) пропорциональны рп. Таким образом, отношение
ширины fn(Rn) к высоте Rn стремится к нулю.
Newhouse [1979] получил точные оценки, показывающие, что для
квадратичного касания можно выбрать такое число п и прямоугольник Rn С R,
что f~n{Rn П fn{Rn)) = и является парой горизонтальных полосок, сумма
высот которых (по нормали к Ws(p)) почти равна высоте Rn. Поэтому /"
имеет инвариантное множество Л2 С Rn с большой устойчивой толщиной. Для
того чтобы показать, что Л2 гиперболично, необходимо выполнить секторные
оценки типа тех, которые обсуждались в разделе 5.2, причем здесь они
весьма тонки, так как "вертикальные" полоски Rn П fn(Rn) = U имеют
границы, которые почти касаются Ws(p) и, следовательно, горизонтальных
границ Rn, см. рисунок 6.7.6. (См. Robinson [1982], где содержится другой
вывод данного результата, а также дополнительная информация.)
(а) (Ь)
Рис. 6.7.6. Создание инвариантного множества с большой неустойчивой
толщиной:
(a) Rn П Г(Д"); (b) f~n(Rn) П Rn.
Здесь мы приведем альтернативную конструкцию инвариантного множества с
большой устойчивой толщиной, основанную на том факте, что для больших п
отображение /" близко к одномерному. Если ввести вблизи t масштаб А~"
вертикальной координаты, то fn(Rn) стремится к предельному отображению h,
имеющему ранг 1 и график, подобный изображенному на рисунке 6.7.7.
Можно считать, что отображение h имеет бесконечно сильное сжатие вдоль
своих линий уровня; оно будет гиперболичным, если в каждой точке
существует направление расширения, для которого выполняются стандартные
гиперболические оценки. В этом смысле отображение h негиперболично, но
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed