Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
последовательностей упорядочено отношением -Г Для дифференцируемых
отображений (при этом f'(c) = 0) в любом полном семействе реализуются все
возможные перемешивающие инвариантны. Следовательно, между значениями
параметра /го и существуют бифуркации, представляющие собой переходы ко
всем перемешивающим последовательностям из промежутка между такими
последовательностями для /Мо и /М1. В частности, имеем такой результат.
Теорема 6.3.4. На множестве всех периодических последовательностей из
символов Iq и 1\ существует отношение порядка со следующими свойствами-.
1) Две последовательности а и b эквивалентны тогда и только тогда,
когда ап (а) = b для некоторого п.
6.3. Бифуркации одномерных отображений
383
2) Если /м (/г ? [/toj/ti]) - некоторое однопараметрическое семейство
отображений такое, что если /Мо и /М1 обладают периодическими
перемешивающими последовательностями, причем перемешивающая
последовательность для /Мо меньше, чем перемешивающая последовательность
для /М1, то в семействе /м существует множество бифуркаций,
соответствующих возникновению каждой из периодических орбит в промежутке
между перемешивающими последователъностя-ми /мо и flJ.1 ¦
УПРАЖНЕНИЕ 6.3.2 (Шарковский [1964], Li, York [1975], Stefan [1977]).
Пусть / - некоторое непрерывное отображение единичного интервала / такое,
что образы под действием / двух замкнутых интервалов L = [а,Ь], В, =
[c,d], где Ъ ^ с, обладают свойствами L U R С f(R) и R С f(L). Положим
далее, что либо Ъ < с, либо /2(6) ф. R. Покажите, что / имеет
периодические точки периода п для всех п. Затем докажите, что если
некоторое отображение g имеет точку периода 3, то она имеет и точки любых
периодов. (Подсказка: рассмотрите орбиты {.fk(x)} такие, что fk (х) ? R,
0 ^ к ^ п - 2, fn~1 (х) ? L и /п(х) = х ? Д.)
Вместо того чтобы углубиться в подробности анализа, изложенные в
Guckenheimer [1977, 1979] или в Collet, Eckmann [1980], мы
проиллюстрируем символические вычисления при помощи перемешивающих
последовательностей, опирающиеся на теорему Шарковского (см. Stefan
[1977]) для класса рассматриваемых отображений. Эти вычисления включают в
себя отыскание для каждого периода наименьшей периодической орбиты в
смысле введенного выше отношения порядка. Они являются хорошим
упражнением в использовании символической динамики. Мы будем
рассматривать только маршруты, не содержащие С, так как в противном
случае периодическая орбита данного периода не будет минимальной.
Вначале заметим, что постоянный маршрут а, для которого ап = Iq для всех
п, представляет лишь точки, асимптотические к некоторой неподвижной точке
(0) в Iq. Таким образом, все орбиты с периодами, большими единицы,
содержат в своем маршруте символ 1^. Следовательно, маршрут с наибольшей
инвариантной координатой для некоторой точки такой орбиты начинается с
1\. Следующее наблюдение заключается в том, что последовательность,
начинающаяся с /i/о, больше той, которая начинается с 1\1\. Аналогично,
последовательность, начинающаяся с /|/о/о, больше той, которая начинается
с I\h\I\.
Лемма 6.3.5. Рассмотрим последовательности а и Ь, для которых а-о = bo =
I\, а\ = Ъ\ = Iq, cij = bj = 1\ для 2 ^ j < I, ai = Iq, bi = I\. Если l
четно, то в(Ъ) < в(&). Если l нечетно, то в(Ъ) > в(&).
Доказательство представляет собой простое упражнение, связанное с
проверкой данного выше определения лексикографического упорядочения.
384
Глава 6
Лемма 6.3.6. Пусть а, b - такие маршруты, для которых ап = 1\ для четных
п, Ъ$ = 1\ и bm = Iq для некоторого четного т. Пусть г - наименьшее из
таких т, предположим, что существует такое четное число j < i, для
которого bj = Iq. Тогда существует такое целое число к, что 0(<тг(а)) <
в(ак(Ъ)) для всех I ф 0.
Доказательство. Выберем четное число к так, что bk+1 = и (если к < i - 2)
bj = 1\ для к + 1 < j < i. Тогда у последовательности ак(&) = с будет с\
= Щ-к = Iq, и Cj = 1\ для 1 < j < i - к и j = 0. Рассмотрим теперь сгг(а)
= d для любого I ф 0. Если I нечетно, то d\ = = 1\, откуда 0(d) < 0(c).
Если же I четно, то dj = 1\ для всех четных j. Если d\ = 1\, то 0(d) <
0(c). Если dj = Iq, возьмем ш равным наименьшему целому числу, большему
единице, для которого dm = Iq. Теперь сравним 0(c) и 0(d). Если т < i -
к, то j = т есть наименьшее целое число, для которого Cj ф dj. Мы имеем
ст = I\, dm = Iq, и каждая последовательность имеет четное число символов
1\ до позиции с номером ш. Следовательно, 0(d) < 0(c). Если ш > г - к, то
j = i - к - наименьшее целое число, для которого Cj ф dj. Мы получаем,
что щ-к = Iq, di-к = h, а число символов 1\ в каждой последовательности
до позиции (г - к) четно. Следовательно, 0(d) < 0(c). Так как числа т и
(г - к) имеют разную четность, то доказательство завершается. Мы
определили, что 0(сгг(а)) < в(ак(Ъ)) для всех I ф 0. ¦
Лемма 6.3.7. Наибольшая точка в наименьшей периодической орбите четного
периода п имеет маршрут а, для которого ai = Iq при г = 1 (mod п) и ai =
