Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
1\ в противном случае.
Доказательство. Если существует число к, для которого ак = = 1\ и ак+1 =
ак+2 = /о, то инвариантная координата у последовательности гтк (а)
больше, чем для любой последовательности, в которой значения 10
встречаются изолированно. Следовательно, последовательность а в данной
лемме обладает тем свойством, что из равенства ак = 1о следует, что ак-1
= ак+1 = 1\- Заметим далее, что в этой последовательности существует блок
символов длины п, каждый из которых, кроме первого и последнего, равен
1\. В силу леммы 6.3.5, чем длиннее такие блоки, тем короче маршрут.
Маршрут, определенный в данной лемме, имеет блок такого типа длины не
более п + 1 для периодической последовательности длины п. ш
Следствие 6.3.8. Если число п > 1 четно, то существует периодическая
орбита периода п + 2, которая меньше любой периодической орбиты периода
п.
6.3. Бифуркации одномерных отображений
385
Рис. 6.3.1. График /2. Отметим инвариантный подынтервал J.
Пользуясь леммой 6.3.6, можно построить периодические орбиты любого
четного периода, меньшие, чем все периодические орбиты нечетного периода.
Эти орбиты обладают тем свойством, что любой член с четным индексом в их
маршруте равен 1\. Заметим, что график /2 для отображения /, для которого
инвариант перемешивания имеет такой вид, выглядит аналогично
изображенному на рисунке 6.3.1. Существует подынтервал J отрезка [0,1],
содержащий точку с, который отображается внутрь себя. Маршрут некоторой
точки из J для отображения /2 может быть рассмотрен подобно тому, как
выше мы рассмотрели маршрут для /, но с переменой ролей символов Iq и 1\
(так как данное отображение действует "сверху вниз"). Таким образом,
последовательности а, для которых ai = 1\ для четных i и ai = Iq для г =
1 (mod 4), меньше, чем последовательности Ь, для которых 6* = 1\ для
четных i и bi = 1\ для некоторого i = 1 (mod 4). Отсюда следует такое
утверждение.
Лемма 6.3.9. Если к, I нечетны и т > п, то существуют периодические
последовательности периода к ¦ 2т, которые меньше любой периодической
последовательности периода I ¦ 2".
Доказательство предлагается в качестве упражнения (используйте
вышеприведенное обсуждение).
Лемма 6.3.10. Если числа k, I четны и 1 < к < I, то существуют
периодические последовательности периода I ¦ 2", которые меньше любой
периодической последовательности периода к ¦ 2".
Доказательство предлагается в качестве упражнения.
Закончим обсуждение периодических орбит следующей теоремой Шарковского,
справедливой в самом общем контексте.
386
Глава 6
Теорема 6.3.11 (Шарковский [1964], Stefan [1977], Block и др. [1979]).
Упорядочим множество натуральных чисел следующим образом:
1 < 2 < 4 < ... < 2к <1 2k+l < ...
... < 2k+1 • (21 + 1) < 2k+1 • (21 - 1) < ... < 2k+1 • 5 < 2k+1 • 3 < ...
... < 2k ¦ (21 + 1) < 2k ¦ (21 - 1) < ... < 2k • 5 < 2k ¦ 3 < ...
... <1 2(21 + 1) <1 2(21 - l)<...<2-5<2-3<...
...<(2/ + l)<(2/-l)<...<5<3.
Если f - некоторое непрерывное отображение интервала в себя, имеющее
периодическую точку периода р и q<p, то / имеет периодическую точку
периода q.
В частности, в этом результате содержится утверждение о том, что "период
3 означает хаос" (Li, Yorke [1975]).
Отметим, что первая последовательность периодов в упорядочивании
Шарковского содержит степени двойки в возрастающем порядке. Это
соответствует последовательности бифуркаций удвоения периода в некотором
однопараметрическом семействе при изменении параметра от значений, при
которых оно имеет лишь неподвижные точки, к значениям, при которых
существует бесконечное множество периодических орбит. Эти каскады
бифуркаций удвоений периода обладают богатой структурой, что было впервые
отмечено Feigenbaum [1978]. Существуют свойства, ассоциированные с этими
каскадами, которые универсальны в том смысле, что не зависят от выбора
конкретного отображения из широкого класса (см. Collet, Eckmann [1980],
Collet и др. [1980]); мы обсудим их в разделе 6.8. Кроме того, переход к
"хаосу" через бифуркации удвоение периода является, по-видимому, общим
свойством систем, приближающихся к гомоклиническому касанию устойчивого и
неустойчивого многообразий некоторой периодической орбиты. Он наблюдался
при численном исследовании уравнения Дуффинга с возбуждением (Huberman,
Crutchfield [1979], Ueda [1981]). Кроме того, такой переход наблюдался в
экспериментах по динамике жидкости (Libchaber, Maurer [1982]), что
свидетельствует о важности теории бифуркаций для понимания перехода к
турбулентности в гидродинамике (см. Gollub, Benson [1980]).
6.4. Бифуркации Лоренца
Мы можем использовать теорию одномерных отображений, кратко изложенную в
разделе 6.3, для геометрического описания бифуркаций, приводящих к
аттрактору Лоренца. Данный процесс весьма тонок и включает
6.4. Бифуркации Лоренца
387
симметрию системы, а также два гомоклинических перехода разных типов.
Основные свойства данной последовательности бифуркаций были обнаружены в
