Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 138

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 199 >> Следующая

предыдущих разделах, имеются строгие ограничения на классы топологической
эквивалентности и бифуркации одномерных отображений. Используя эти
одномерные методы, можно классифицировать различные возможные классы
топологической эквивалентности аттракторов Лоренца. Мы наметим процедуру
классификации классов топологической эквивалентности, отсылая читателя за
дальнейшими подробностями, касающимися восстановления аттракторов для
потока по /р, к разделу 5.7, а также работам Guckenheimer, Williams
[1979] и Robinson [1981а]. Ниже мы опускаем явное упоминание параметра р.
На рисунке 2.3.4 иллюстрируется тот тип одномерных отображений,
бифуркации которого мы хотим изучить. При подходящей нормализации они
представляют собой отображения /: [-1,1] -> [-1,1] со следующими
свойствами:
(a) / имеет единственную точку разрыва в нуле и lim f(x) = =Fl;
CC^±0
(b) f'(x) > 1 для всех х Ф 0;
(c) f(-x) = -f(x). (6.4.3)
Методы, использованные в разделе 6.3 для изучения бифуркаций одномерных
отображений, можно использовать для классификации отобра-
6.4. Бифуркации Лоренца
393
жений, удовлетворяющих (6.4.3). Интервал [-1,1] разобьем на части Iq = =
[-1, 0) и 1\ = (0,1] и изучим для этого разбиения динамику отображения.
Теорема 6.4.1. Класс топологической эквивалентности отображения /: [-1,1]
-> [-1,1], удовлетворяющего (6.4.3), определяется символической
последовательностью для точки ( - 1).
Доказательство. Символическую последовательность а+ для точки +1 можно
получить из символической последовательности а для точки -1 посредством
обмена нулей и единиц в этой последовательности, так как /"(+1) = -/"(-1)
для всех п. Если Ь± - пределы символических последовательностей,
получаемых из х при х -> ±0, то, как следует из (6.4.3), сг(Ь+) = а и
сг(Ь~) = а+. (Здесь а - отображение сдвига на последовательностях.)
Условимся считать, что обе последовательности ассоциируются с нулем и
/(0) представляет собой две точки ±1. Используя эти факты, мы можем
охарактеризовать символические последовательности, действительно имеющие
место для точек из [-1,1]. Мы будем использовать для их сравнения
отношение лексикографического порядка на символах. Главным шагом в
доказательстве служит следующая лемма.
Лемма 6.4.2. Пусть с = {сД"0 - некоторая последовательность из нулей и
единиц. Существование точки х ? [- 1,1] с символьной последовательностью
{с,} равносильно тому, что из равенства сп = 0 следует, что сг"(с) У а-,
а из равенства сп = 1 следует, что а71 (с) < а+.
Доказательство. Пусть с - символическая последовательность для х. Покажем
справедливость неравенств для символических последовательностей.
Допустим, что fn(x) С Iq, так что сп = 0. Тогда из неравенства х > с
следует, что f(x) > /(с). Если <т(tm)(с) ф а и к - наименьшее целое число,
для которого cn+k ф ak, то f возрастает на каждом интервале [/*( - 1),
fn+l{x)) для i < к. Таким образом, с необходимостью cn+k = 1 и ак = 0.
Неравенство для символических последовательностей с сп = 1 доказывается
аналогично.
Допустим теперь, что с - некоторая символическая последовательность,
удовлетворяющая вышеприведенным неравенствам. Мы докажем, что Р|
f~n{ICri) ф- 0- Из свойства конечного пересечения следует, что
пФфО
N
для этого достаточно проверить, что |"| ф 0 для всех N ^
0.
п=0
Очевидно, что множество 1Со непусто. Докажем теперь, что если пересече-
N - 1
ния Р| /_и(/с") непусты для всех последовательностей с, удовлетворяю-
П = О
N
щих данным неравенствам, то пересечения Р| /_и(/с") непусты. Рассмот-
71 = 0
394
Глава 6
рим некоторую последовательность с, для которой со = 0. Тогда множе-
N-1
ство Р| f~n(ICn+1) непусто, так как сг(с) удовлетворяет нашим неравен-
71=0
ствам, если с им удовлетворяет. Мы утверждаем, что множество
,N-1 ч N-1
г1 П гп{1сп+1)) = П r(n+1)Uc.+1)
71 = 0 ' 77 = 0
пересекается с [-1,0). Это свойство нарушено, если множест-лг-1
во Р| f-n{ICrl+1) лежит в интервале [-1,/(-1)], состоящем из таких
71=0
точек х, для которых состоит из единственной точки в интерва-
лг-1
ле [0,1]. Если р f~n(Icn+J С [-1,/(-1)), то символические последо-
71=0
вательности для этих точек строго меньше, чем символическая последо-
вательность сг(а-) точки /(-1). (Так как отображение / расширяющее, то
разные точки имеют разные символические последовательности.) Так как со =
0 = ао, мы приходим к выводу, что с < а, что противоречит гипо-
лг-1
тетическому неравенству для с. Таким образом, множество Р| /_и(/Сп+1)
71=0
N
имеет точки в [/_1(-1), 1], откуда Р| f~n(ICn) непусто.
71=0
В процессе доказательства этой леммы мы заметили, что из свойства
(6.4.3(b)) следует, что разные точки имеют разные символические
последовательности. Следовательно, исключая небольшое усложнение,
заключающееся в наличии у точек, траектории которых включают 0, двух
ассоциированных символических последовательностей1, соответствие между
символическими последовательностями и точками взаимно однозначно и
сохраняет порядок. Если f ид - два отображения, удовлетворяющие (6.4.3) и
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed