Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
компонента первого из этих векторов велика, она имеет меньший порядок
роста, нежели величина А(tm)/2р~(tm), равная модулю углового коэффициента
образа любого вектора, первоначально близкого к вертикали. Нетрудно
проверить, что существует константа сив каждой точке множества /^п+к^
(Sn) П Sn существует конус, ограниченный векторами с угловыми
коэффициентами ±сА"/2р_", который отображается в себя под действием DfQ+k
(см. анализ в разделе 5.2). Векторы этого сектора растягиваются в число
раз, ограниченное снизу, поэтому в нем содержатся расширяющиеся векторы
некоторой гиперболической структуры. Следовательно, для данного примера
доказана следующая теорема.
Теорема 6.6.1. Пусть /о: R2 -> R2 - диффеоморфизм, имеющий неподвижную
точку р, в которой собственные значения р и А матрицы Df(p) удовлетворяют
неравенствам р < 1 < А < р~г. Допустим, что Wu (р) и Ws (р) имеют точку
ро тангенциального пересечения и что область D, ограниченная кусками
многообразий Wu(p) и Ws(p), лежащими между р и ро, отображается под
действием /о в себя. Если V - некоторая окрестность точки р, то
существует целое число М такое, что для всех т 57 М отображение fm имеет
в V инвариантное множество Лт, топологически сопряженное со сдвигом из
двух символов {т. е. с подковой).
Замечание. Структурная устойчивость множества Лто гарантирует возможность
малого возмущения данного отображения (например, добавления членов
старшего порядка или малых нелинейностей в V) без разрушения Лто.
Заметим также, что из этого анализа следует существование счетного
множества подков Лто для всех т = п + к ^ М. В статьях Гаврилова и
Шильникова [1972, 1973] рассмотрены другие случаи касания как для
сохраняющих ориентацию, так и для обращающих ее диффеоморфизмов. В
некоторых из этих ситуаций подковы в окрестности точки ро не существует
до тех пор, пока возмущение не приводит к появлению трансверсальных
гомоклинических точек.
Установив, что вблизи гомоклинической бифуркации уже может иметься
сложная динамика, перейдем к изучению того, что произойдет при возмущении
гомоклинического касания в однопараметрическом семействе. Мы продолжим
обсуждение в терминах вышеприведенного квадратичного примера, включив его
в некоторое однопараметрическое семейство отображений /м. Зафиксируем
некоторую окрестность начала координат и предположим, что /м - это
линейное отображение, определяемое для всех р формулой /ц(х,у) = (рх,
Ху), где, как и прежде, р < 1 < А < р~г. Допустим, что существует целое
число к > 0 и точка ро = (0,уо), вблизи которой
408
Глава 6
отображение fk задается формулой
/Ц(х,у) = {х0 -(3(у-уо), р + +х + 5{у -у0)2)- (6.6.6)
В этом случае отображение fj}+k примет вид
fjl+k{x,y) = {рп{х0 - (3{у~Уо)), \п{р + +х + 5{у - Уо)2))- (6.6.7)
При изменении р мы получим последовательность бифуркаций, показанную на
рисунке 6.6.1. Если р > 0, точки справа от оси у вблизи ро имеют минимум
вертикальной координаты, равный р. Следовательно, добавление п итераций
переводят все эти точки выше ро, если п > \п(уо/р)/ In Л. Эта ситуация
отличается от описанной выше при р = 0. Следовательно, при возрастании р
от нуля многие из подков, которые мы обнаружили при р = 0, исчезают. В
действительности, можно решить в явной форме наши модельные уравнения для
бифуркаций типа "седло-узел" орбит периода (п + к) и даже для
последовательных бифуркаций удвоения периода, происходящих при убывании р
до нуля (см. Гаврилов, Шильников [1973]).
УПРАЖНЕНИЕ 6.6.1. Покажите, что бесконечная последовательность рп+к
бифуркаций "седло - узел" для периодических орбит с последовательно
возрастающими периодами п + к сходится справа к нулю в случае семейства
fj}+k, заданного формулой (6.6.7). Покажите, что стоки, рождающиеся в
этих бифуркациях, испытывают последовательные бифуркации удвоения периода
в точках второй последовательности р'п+к, также сходящейся к нулю справа.
Качественная картина происходящего при р > 0 аналогична ситуации для
отображения Хенона или для подходящей итерации отображения возврата для
строго нелинейного уравнения Ван дер Поля или Дуффинга. Параболические
сечения многообразия Wu(0), начиная с точки (хо, р), нарастают с
экспоненциальной скоростью А". Таким образом, при возрастании р образы
fn+k{Sn) поднимаются вдоль Sn, что приводит к разрушению всей подковы
Ап+к для fn+k(Sn), см. рисунок 6.6.4.
Все вопросы, касающиеся наличия странных аттракторов и обсужденные в
разделе 5.6, возникают при анализе возмущений диффеоморфизма, имеющего
гомоклиническое касание. Заметим также, что производная отображения fj}+k
имеет определитель, стремящийся к нулю с экспоненциальной по п скоростью,
ввиду чего данные бифуркации при р -> +0 можно лучше аппроксимировать при
помощи бифуркаций одномерных отображений (см., однако, комментарии в
конце раздела 6.7).
Чтобы понять, что происходит при стремлении р к нулю снизу, заметим, что
из неравенства р < 0 следует, что /м имеет трансверсальную
